Komposition von Relationen und Eigenschaften: Beweis oder Gegenbeispiel


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Hallo zusammen,

wer kann mir bei der Aufgabe weiterhelfen?

Ist die Komposition zweier reflexiver Relationen auf einer Menge A stets wieder reflexiv? Ist die Komposition zweier symmetrischer Relationen auf einer Menge A stets wieder symmetrisch? Ist die Komposition zweier transitiver Relationen auf einer Menge A stets wieder transitiv? Ist die Komposition zweier antisymmetrischer Relationen auf einer Menge A stets wieder antisymmetrisch? Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Danke sehr für jede Antwort!

Eva

 

gefragt vor 3 Monate
e
evatsigkana,
Student, Punkte: 50
 
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1 Antwort
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Wir haben also eine Menge A und zwei Relationen R(x) und S(x) auf A und die Komposition Z(x) = R(S(x)). (So etwas ist wichtig sich hinzuschreiben. Wenn du nur den Text der Aufgabe hast, kannst du mit nichts "arbeiten" und "rumspielen")

1. Reflexiv würde ich sagen ja. Für ein Element x aus A ist Z(x) = R(S(x)) =R(x) = x. Eben weil S und R reflexiv sind.

2. Symmetrisch würde ich sagen Nein. Sei A = reellen Zahlen. R eine symmetrische Relation mit R(4)=3, R(7)=9 und S eine symm. Relation mit S(1)=4, S(3)=7. Dann wäre

Z(1) = R(S(1)) = R(4) = 3.

Z(3) = R(S(3)) = R(7)= 9

also nicht symmetrisch. (Die Zahlen habe ich mir nach und nach so gebaut, damit es kaputt geht).

Dann Versuch die anderen 2 mal selbst 🤗.

Viele Grüße

René

geantwortet vor 3 Monate
R
RenTohang,
Punkte: 65
 

Danke dir vielmals, René! Ich verstehe nicht, woher das Z(x) kommt und daraus R(S(x)). Ist die Komposition zweier Relationen nicht etwa RoS? Danke nochmals... Eva   -   evatsigkana, kommentiert vor 3 Monate

Hallo,

warum ist die Komposition nicht symmetrisch? Das habe ich noch nicht verstanden. Danke dir!
Wenn ich zwei symmetrische Relationen habe, dann komme ich zum Schluss, dass deren Komposition auch symmetrisch ist. Bsp. R = {(1,2), (2,1)} und S = {(3,1),(1,3)} -> RoS = {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} Oder ist eine völlig falsche Überlegung??
  -   evatsigkana, kommentiert vor 3 Monate

Hallo Eva,

ich hoffe das ist jetzt nicht zu spät für deine Abgabe :D.

Ja, R(S(x)) ist das gleiche wie RoS(x) und diese nennen wir dann Z. Also Z(x) = RoS(x) = R(S(x)).

Das Ding ist, du musst ja nur ein Beispiel bauen, so dass es nicht passt um eine Aussage zu Widerlegen. Wenn die Fragen: Ist die Komposition von symmetrischen Abbildungen immer Symmetrisch, lieferst du denen eine Abbildung die es nicht ist und hast die Aussage Widerlegt.

Das Problem bei deinem Beispiel ist folgendes: Wenn zum Beispiel RoS(1) berechnen wollte, würde ich zu erst S(1) berechnen, was 3 ist (S(1)=3). Danach würden wir das R auf die 3 drauf hauen, also R(3) berechnen. Aber du hast oben noch nicht gesagt, was R(3) ist.

Deswegen sorge ich dafür, dass es nicht klappt:

R={(4,3),(3,4),(9,7),(7,9)} S={(1,4),(4,1),(3,7),(7,3)

Dann ist RoS(1) = R(4) = 3 (Da S(1) = 4)

und RoS(3) = R(7) = 9 (Da S(3) = 7).

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Viele Grüße

René
  -   RenTohang, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Danke dir vielmals, René!!!   -   evatsigkana, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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