Grenzwertbestimmung trigonometrische und logarithmusfunktionen


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Hi 

 

Ich weiss nicht, wie ich folgenden Grenzwert bestimmen kann: 

 

\(  \lim_{x\to 1} \frac{ln(x) - sin(\pi x)}{\sqrt{x -1}}  \)  für x > 1

 

Ich wäre dankbar für Hinweise.  

 

EDIT: 

 

Die Lösung geht folgendermassen vor: 

 

\( \ln(x) = x - 1 + O(|x-1|^2)  \)

 

Für mich macht das keinen Sinn. Ich weiss nämlich, dass die Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus folgendermassen lautet: \( \ln(x+1) = x + O(x^2) \). Wie kommen sie darauf? 

 

Dann gehen sie so weiter: 

\( \sin(\pi x) = -\pi (x-1) + O(|x-1|^2) \)

 

Auch hier gilt \(  \sin(x) = x + O(x^3) \). Wie kommen sie auf diese Expansion? 

 

 

 

gefragt vor 4 Monate
e
ezzatm,
Student, Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Hallo!

 

Es gilt:

 

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\ln(1+x) = x \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 1}\ln\big(1+\underbrace{(x-1)}_{\to 0}\big) = x-1 \) (auf die Landauschreibweise wurde hier wegen der Übersichtlichkeit verzichtet).

 

Außerdem:

 

\(\displaystyle  \sin(x) = x + \cdots\), da aber \(\displaystyle  \lim_{x\to 1}\sin(\pi x) = 0\) und \(\displaystyle  \lim_{x\to 0}\sin(x) = 0\), muss man die Reihendarstellung dementsprechend anpassen zu (wir müsssen also sozusagen das ganze Argument nehmen und es um \(\displaystyle  1\) nach rechts verschieben):

 

\(\displaystyle  \sin(\pi x) = -\pi(x-1)\) (Das Vorzeichne kommt von der Taylorentwicklung, da die ersten beiden Glieder wie foltgt lauten: \(\displaystyle  \underbrace{\sin(\pi\cdot 1)}_{=0} + \pi \underbrace{\cos(\pi \cdot 1)}_{= -1}(x-1)\) [mit \(\displaystyle  x_0 = 1\)]).

 

Gruß.

 

geantwortet vor 4 Monate
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Kannst du den trigonometrischen Teil ein bisschen ausführen? Oder auf Quellen verweisen wo ich das besser verstehen kann? Wieso gilt \( \lim_{x \to 1} \sin(\pi x) = 0 und \lim_{x \to 0} \sin(x) = 0 \) ? Bzw. wie soll ich so ein Problem im Allgemeinen angehen?   -   ezzatm, kommentiert vor 4 Monate

Also was ist denn \(\displaystyle \sin(\pi) \)? Und was ist \(\displaystyle \sin(0) \)? Im Allgemeinen, insofern keine Tipps gegen sind, schauen, ob man was Ähnliches kennt – in diesem Fall also die Taylorentwicklung. Und dann schauen, wie man das auf das Problem anwenden kann …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate
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Hallo,

das wäre ein Kanidat für die Regle von L'Hospital, die wendet man an wenn man unbestimmte Ausdrücke hat, also sowas wie \( \frac{0}{0} \) , \(  \frac{\infty}{\infty} \) oder auch  \( \frac{0}{\infty} \). Sie lautet:

\( \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \). Man bildet also die Ableitung vom Zähler und Nenner und schaut ob man einen vernünftigeren Ausdruck kriegt (falls nicht nochmal anwenden, das geht inuktiv). Beispiel: Gesucht ist der Grenzwert von der Funktion \( f(x)= \frac{\sin{x}}{x} \) für \( x \rightarrow 0 \). Das ist ein unbestimmter Ausdruck, also nutzen wir die Regel von L'Hospital:

\( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos{x}}{1} =   \lim_{x \rightarrow 0} \cos{x} = 1 \)

Wie lautet es dann auf dein Beispiel angewendet?

geantwortet vor 4 Monate
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2230
 

Ich glaube nicht, dass das der richtige Ansatz ist. Ich habe meine Frage bearbeitet   -   ezzatm, kommentiert vor 4 Monate
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