Gleichungssystem, Lösungsvektor, adjungierte Matrix


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Gegen ist das folgende Gleichungssystem mit den unbekannten x1,x2,x3,x4 und den Parametern a und b:

 

x1+x4 = 5

x2+ax3 = 2+3a

bx1+x2+x3+x4=b+9

ax3+x4=4+3a

 

Kann mir jemand helfen

a) die unbekannten x herauszufinden und

b) die adjungierte Matrix (nicht transponiert) der Koeffizientenmatrix für a=0 

Zu finden.

 

Wäre dankbar für jede Hilfe 

 

 

 

gefragt vor 4 Monate
k
kajmer58,
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3 Antworten
2

Hallo die Unbekannten kannst du wie folgt herausfinden. Deine Anfangsgleichungen sind

$$x_1+x_4=5$$

$$x_2+ax_3=2+3a$$

$$bx_1+x_2+x_3+x_4=b+9$$

$$ax_3+x_4=4+3a$$

Aus der ersten Gleichung folgt:

$$x_4=5-x_1$$

Damit kannst du \(x_4\) eliminieren:

$$x_2+ax_3=2+3a$$

$$bx_1+x_2+x_3+5-x_1=b+9$$

$$ax_3+5-x_1=4+3a$$

Aus der zweiten Gleichung folgt:

$$x_2=2+3a-ax_3$$

Damit kannst du \(x_2\) eliminieren:

$$bx_1+2+3a-ax_3+x_3+5-x_1=b+9$$

$$ax_3+5-x_1=4+3a$$

Jetzt kann man erstmal aufräumen:

$$(b-1)x_1+(1-a)x_3=b-3a+2$$

$$ax_3-x_1=3a-1$$

Aus der unteren Gleichung folgt:

$$x_1=ax_3-3a+1$$

Somit kannst du \(x_1\) eliminieren:

$$(b-1)(ax_3-3a+1)+(1-a)x_3=b-3a+2$$

Erste Vereinfachung:

$$(abx_3-3ab+b)+(-ax_3+3a-1)+(1-a)x_3=b-3a+2$$

Zweite Vereinfachung:

$$(abx_3)+(-ax_3)+(1-a)x_3=3ab-6a+3$$

Dritte Vereinfachung:

$$(ab-2a+1)x_3=3(ab-2a+1)$$

Somit gilt:
$$x_3=3$$

Es folgt direkt:

$$x_1=1$$

Damit widerum folgt:

$$x_2=2$$

Somit gilt:
$$x_4=4$$

Eingesetzt in die Anfangsgleichungen:

$$x_1+x_4=5$$

$$x_2+ax_3=2+3a$$

$$bx_1+x_2+x_3+x_4=b+9$$

$$ax_3+x_4=4+3a$$

gilt:

$$1+4=5$$

$$2+3a=2+3a$$

$$b+2+3+4=b+9$$

$$3a+4=4+3a$$

Passt also alles :)

Somit ist die Lösung:

 

$$(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,2,3,4)$$

geantwortet vor 4 Monate
endlich verständlich, verified
Student, Punkte: 1180
 

Wow, sehr ausführlich und verständlich erklärt!   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate
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Adjungiert heißt komplex konjugiert und transponiert. Wenn du sie aber nicht transponiert haben willst, dann nenn die Matrix doch einfach komplex konjugiert. :)

Die Koeffizientenmatrix enthält in der ersten Zeile die Werte von \(x_1, x_2, x_3, x_4\) in der ersten Gleichung, in der zweiten Zeile für die zweite Gleichung, usw. Die Einträge sind alle ganzzahlig außer \(x_1\) in der dritten Zeile der Matrix, weil die dritte Gleichung noch ein \(b\) enthält :) 

geantwortet vor 4 Monate
endlich verständlich, verified
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Hallo!

 

Hier noch ein etwas heuristischer Ansatz:

 

Koeffizientenvergleich der letzten Gleichung ergibt:

 

\(\displaystyle x_3 = 3 \) und \(\displaystyle  x_4 = 4\). Daraus ergibt die erste Gleichung \(\displaystyle  x_1 = 1\) und alles in eine beliebige Gleichung eingesetzt, wo \(\displaystyle  x_2\) vorkommt (am besten die zweite Gleichung), dass \(\displaystyle  x_2 = 2\) ist…

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate
e
einmalmathe, verified
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Dann gibt Koeffizientenvergleich der zweiten Gleichung dir sogar direkt \( x_2=2 \) :)
  -   endlich verständlich, verified kommentiert vor 4 Monate

Hätte ich gleich hinschreiben können – Danke! (Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht! xD)   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate
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