Herleitung Euler‘sche Zahl


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Hallo, ich hab da ein kleines Verständnis Problem.... Gehen wir davon aus, man kennt die Zahl e nicht, man weiß nur, dass es eine Zahl ist, deren Ableitung exakt die selbe Funktion ist und wahrscheinlich zwischen 2 und 3 liegt. Um das mit der h-Methode zu beweisen, muss der Differenzenquotient 1 ergeben, okay alles klar 👌 Damit der aber 1 ergibt, muss ich ja für e eine Zahl einsetzen, die ich aber nicht kenne, wie eingangs erwähnt..... Natürlich könnte man Differenzenquotienten nach e umstellen, da man weiß das er 1 ergeben muss, also etwa:

\(\sqrt[h]{h+1}\) = e

Ist das so alles richtig ? Vllt. kanns mir jemand noch besser erklären 😎 ne andere Herleitung oder so 👍🏼 Zweite Frage: Kann mir jemand den Beweis/Herleitung mit dem Binomischen Lehrsatz zeigen ? Beste Grüße

 

gefragt vor 3 Monate, 4 Wochen
f
fbtechniker,
Student, Punkte: 30
 

Vielen Dank, aber die Antwort bringt mir nichts.   -   fbtechniker, kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen

Die Zahl ist einfach so definiert. Der Grenzwert ergibt die Zahl, da muss man nichts einsetzen.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen
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2 Antworten
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Hallo!

 

\(\displaystyle  a^x\lim_{h\to 0} \frac{a^h - 1}{h} = a^x \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{h\to 0} \sqrt[h]{h+1} = a\) bzw. mit \(\displaystyle  \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \lim_{h\to 0} h\)

 

\(\displaystyle a = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \).

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Okay, also ist die Vermutung von mir oben soweit richtig ? e kann ich mit der Umstellung ausrechnen 👍🏼 Danke   -   fbtechniker, kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen

Die Eulersche Zahl ist der Grenzwert der oben beschriebenen Gleichung. Die Zahl ist einfach so definiert. Eine Definition kann man nicht beweisen, entweder ist sie logisch bzw. nützlich oder nicht.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen
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Hat jemand noch eine ausführliche Antwort für die Herleitung mit dem Binomischen Lehrsatz ? 

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
f
fbtechniker,
Student, Punkte: 30
 


Wie genau mit dem Binomischen Lehrsatz? \(\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k\). Wenn Du mit dem Lehrsatz \(\displaystyle a^x = (a+0)^x\) berechnest, hast Du nur einen Summanden (kannst Du selber nachprüfen). Die Eulersche Zahl ist so definiert, da muss man nichts zeigen – weiß Du, was ich meine? Dies ist eine Definition …
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen
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