Hilfe :( (Lösen einer trigonometrischen Gleichung)


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Irgendwie krieg ich die folgende Gleichung nicht gelöst: [Bild 1] \( \sin {2x} = \sqrt{3} * \sin {x} \) Lösungen laut Buch sind: \( x_1 = .\pi * k \) [Bedeutet doch „0?“] ; \( x_2 = \frac {\pi} {6} (12k +/-1) \) Ich hatte die Idee mit der Substitution gehabt, getan, doch irgendwie hat es nicht so geklappt wie ich mir es vorgestellt habe. Sieht jemand vielleicht ein Fehler [Bild 2] oder kennt jemand einen besseren Weg? Ich bedanke mich ganz herzlichst für eure Hilfe und wünsche euch einen erholsamen Schlaf.

 

gefragt vor 3 Monate
s
serc94,
Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo!

 

\(\displaystyle  \sin(2x) = \sqrt{3}\sin(x) \quad\Longleftrightarrow\quad 2\sin(x)\cos(x) = \sqrt{3}\sin(x)\). Mit \(\displaystyle  z = \sin(x)\) und \(\displaystyle  \sqrt{1-z^2} = \cos(x)\), erhält man:

 

\(\displaystyle  \pm 2z\sqrt{1-z^2} = z\sqrt{3}\), wobei man hier direkt \(\displaystyle  z = 0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin(x) = 0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2 = k\pi\quad\text{mit}\quad k\in \mathbb{Z}\).

 

Für \(\displaystyle  z\neq 0\) folgt weiter:

 

\(\displaystyle  \left(\pm 2\sqrt{1-z^2}\right)^2 = \sqrt{3}^2 \quad\Longleftrightarrow\quad z = \pm\frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x_2 = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k\). Das letzte \(\displaystyle  \pm\) gilt, denn \(\displaystyle  \sin(-x) = -\sin(x)\) und wir haben eine Gleichung, also kürzt sich das Vorzeichen weg.

 

Bei \(\displaystyle  x_2\) kannst Du noch die \(\displaystyle  \frac{\pi}{6}\) ausklammern und erhälst so die Lösung.

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate
e
einmalmathe, verified
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Vielmals dank!   -   serc94, kommentiert vor 3 Monate
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