Spezielle Lösung einer DGL


0

Die Aufgabenstellung ist:

Ermitteln Sie die spezielle Lösung für y'(t) = 2t * y(t) mit y(2) = 4.

 

 

Meine Frage ist, wie man an speziellen Lösungen rangehen muss? Wie ist die Herangehensweise bei speziellen Lösungen? Welche Schritte sind für die o.g. Aufgabe notwendig?

 

Vielen Dank im Voraus. 

 

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
S
SerCan,
Punkte: 5
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
1

Hallo!


 


\(\displaystyle  y'(t) = 2ty(t) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = 2t\,\mathrm{d}t \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\vert y\vert \overset{\star}{=} t^2 + \bar{C} \quad\Longleftrightarrow\quad y = C\cdot \mathrm{e}^{t^2}\).


 


\(\displaystyle  \star\): Die Integationskonstante auf der linken Seite der Gleichung wurde „rübergeholt“ und mit den anderen Konstanten zu einer Konstanten zusammengefasst. Außerdem ist \(\displaystyle  \mathrm{e}^C\) mit \(\displaystyle  C = \text{const.}\) sowieso nur eine Konstante – denn fasst man sie als Konstante auf, lässt sie sich erst bestimmen und vor allem einfach dazu.


 


Wegen \(\displaystyle  y(2) = 4\) erhält man, dass


 


\(\displaystyle  C = \frac{4}{\mathrm{e}^4}\) und somit die Funktion


\(\displaystyle  y(t) = \frac{4}{\mathrm{e}^4}\mathrm{e}^{t^2}\)


die gesuchte spezielle Lösung ist.


 


Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1440
 


Hey, vielen Dank erstmal für dein Antwort.

Da es sehr knapp gehalten ist nochmal eine Nachfrage ob ich das richtig verstanden habe:

Du hast die Stammfunktion der gegebenen Ableitung y'(t) = 2ty(t) gerechnet.
Aber wie kommst du auf $$ C \cdot \mathrm{e}^{t^{2}} $$

Die Stammfunktion wäre ja eigentlich t^2 + c

Verstehe daher nicht wie genau du auf C * statt C + kommst und woher kommt die e-Funktion genau?

Jedenfalls hast du dann in die Funktion t=2 eingesetzt und es nach C aufgelöst, sodass du C hast und in die Funktion einsetzen kannst?

Geht man bei speziellen Lösungen immer so vor?
  -   SerCan, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

\(\displaystyle \left(\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y =\right) \ln\vert y\vert = t^2 + C \Leftrightarrow y = e^{t^2}\cdot \underbrace{e^C}_{\mathrm{const.}}\) … Bei speziellen Lösungen geht immer so vor; zuerst die allgemeine Lösung bestimmen und dann die Konstante …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden