Taylorpolynome n-ten Gerades


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Hallo,

ich brauche bei folgender Aufgabe hilfe. Leider habe ich noch nicht viel zum Thema Taylor-Polynome verstanden. Ich weiß nur, dass es diese Formel gibt, die wohl wichtig ist:

\(  T_{n}f(x-x_{0}) = \sum_{k=0}^{\n} \frac {f^{(k)}*x_{0}} {k!} * (x-x_{0})^k \)

hier ist die Aufgabe:

so wie ich das verstanden habe müsste ich ja jetzt die k-te Ableitung von Cosinus bestimmen, aber wie soll das gehen?

 

gefragt vor 4 Monate
j
joline,
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5 Antworten
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Wichtig ist nicht immer versuchen zu wollen zu viele Schritte im voraus zu überlegen. Manchmal hilft es einfach mal anzufangen. Es gilt

\( f(x) = \cos(x) \\ f^{(1)}(x) = -\sin(x) \\ f^{(2)}(x) = -\cos(x) \\ f^{(3)}(x)= \sin(x) \\ f^{(4)}(x) = \cos(x) = f(x) \)

Wenn wir die Funktion viermal ableiten erhalten wir wieder unsere ursprüngliche Funktion, also gilt

\( f^{(4n)}(x) = \cos(x) \\ f^{(4n+1)}(x) = -\sin(x) \\ f^{(4n+2)}(x) = -\cos(x) \\ f^{(4n+3)}(x) = \sin(x) \)

Setzen wir nun \( x=0 \) erhalten wir

\( f^{(4n)}(0) = \cos(0) = 1 \\ f^{(4n+1)}(0) = -\sin(0) = 0 \\ f^{(4n+2)}(0) = -\cos(0) =-1 \\ f^{(4n+3)}(0) = \sin(0) = 0 \)

also insgesammt

\( f^{(2n)}(0) = (-1)^{n} \\ f^{(2n+1)}(0) = 0 \)

Damit vereinfachen sich unsere Ableitungen enorm und du siehst es fällt eben nur jeder zweiter Summand weg, wegen \( f^{(2n+1)}(0) = 0 \). 

Wie kannst du daraus nun argumentieren, das 

\( \vert f(x) - T_{2n} \vert = \vert f(x) - T_{2n+1} \vert \) 

gilt? Wenn du das gezeigt hast kannst du deine Restgliedabschätzung nutzen. Dafür überlegst du dir ein \( \zeta \) für das \( f^{(n+1)}(\zeta) \) maximal wird. Dadurch erhälst du den maximalen Fehler. 
Das geht hier leicht, da \( \cos(x) \) und \( \sin(x) \) ein bekanntes Maximum haben. Dann wirst du die Ähnlichkeit zu deiner zu zeigenen Ungleichung sehen.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
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Hallo,

mit Hilfe der Taylorformel approximieren wir eine beliebig oft differenzierbare Funktion um einen Entwicklungspunkt durch eine Polynomfunktion. Approximieren bedeutet annähern. 

Für n=1 erhalten wir eine sogenannte Linearisierung. Eine Gerade die wir an unseren Entwicklungspunkt anlegen. Für n=2 erhalten wir eine Parabell und so weiter. 

Je größer unser n wird, umso besser approximiert unsere Polynomfunktion unsere ursprüngliche Funktion um den Entwicklungspunkt. 

Habt ihr schon über die Restgliedabschätzung gesprochen? Dies sollte dir bei der Lösung der a) weiter helfen. 

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
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Vielen dank. Das hat mir schonaml etwas geholfen. Das mit der Restgliedabschätzung hatte wir auch schon in der Vorlesung, doch leider habe ich das auch nicht so ganz verstanden.

So wie ich das verstanden habe kann ich dann doch in der Aufgabe b) dann die Formel für n=2 und n=3 anwenden, aber wie mache ich das in der a)? Da bräuchte ich ja die n-te ableitung vom Cosinus. Wie bestimmt man die?

 

geantwortet vor 4 Monate
j
joline,
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Bestimme doch mal die ersten Ableitungen und setze x=0 ein. Man findet schnell eine Regelmäßigkeit. 

Habt ihr die Restgliedabschätzung von Lagrange behandelt? 

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
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Also die ersten ableitungen lauten:

\(
f(x)= cos x mit f(0)= cos (0) = 1
f´(x)= -sin x mit f´(0)= 0
f´´(x)= -cos x mit f´´(0)= -1
f´´´(x)= sin x mit f´´´(0)=0 \)

und das geht dann ja so weiter, also kann man das ja so verallgemeinern:

\(
f^{(4k)}(x)= cosx mit f^{(4k)}(0)= 1
f^{(4k+1)}(x)= -sinx mit f^{(4k+1)}(0)= 0
f^{(4k+2)}(x)= -cosx mit f^{(4k+2)}(0)= -1
f^{(4k+3)}(x)= sinx mit f^{(4k+3)}(0)= 0

\)
Ich habe dann jetzt die ersten Taylorpolynome bestimmt und habe versucht eine allgemeine Formel aufzuschreiben

\( T_{n}f(x,0) = \sum_{k=0}^{\n} 1- \frac {1} {2k!} x^{2k} \)

kann das sein, oder habe ich mich irgendwo vertan?
  -   joline, kommentiert vor 4 Monate

Nicht ganz, es gilt
\( T_nf(x,0) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac {x^{2k}} {(2k)!} \)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate
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Ja wir haben einen Satz in der Vorlesung zu dieser Lagrange Darstellung

geantwortet vor 4 Monate
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joline,
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