Ungleichungen mit Mittelwertsatz beweisen


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Hallo,

 

ich tue mich bei dieser Aufgabe schwer:

Wähle ich hier ein beliebiges Intervall [x,y] und wende erst einmal den Mittelwertsatz an? Aber was vergleiche ich dann?

Ich bin etwas ratlos. Vielen Dank für einen Tipp!

 

gefragt vor 3 Monate, 4 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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2 Antworten
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Hallo,

habe es noch nicht ganz durchgerechnet, aber was mir auffällt ist

\( \sinh(\omega) = \frac {e^{\omega} - e^{-\omega}} 2 \)

Wenn wir den Zwischenwertsatz aufschreiben, erhalten wir mit \( f(x) = e^x \) und dem Intervall \( I=[- \omega , \omega ] \).

\( f'(\zeta) = \frac {e^{\omega}- e^{-\omega}} {2\omega} \\ \Rightarrow \omega \cdot f'(\zeta) = \sinh(\omega)  \)

Nun solltest du mit einer geschickten Abschätzung von \( f'(\zeta) \) die rechte Seite zeigen können. Es muss gelten \( f'(\zeta) > 1 \).

Ich denke mit der Ungleichung \( \tanh(\omega) < \omega \) musst du ähnlich verfahren. 

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Damit hat es geklappt. Vielen Dank! :) Die Frage ist nun, wie man den zweiten Teil meistert. Ich habe die Substitution für ω mal in die Ungleichungen aus dem ersten Teil eingesetzt, das hat mir aber noch keine Erkenntnis gebracht. Muss man die x,y wie das Intervall [-ω,ω] mit dem MWS betrachten oder sollen das feste Werte sein?   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen
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Der erste Teil der Ungleichung kannst du sehr ähnlich beweisen. Es gilt

\( \tanh(\omega) = \frac {\sinh(\omega)} {\cosh(\omega)} < \omega \\ \frac {\sinh(\omega)} {\omega} < \cosh(\omega) \)

Nun schreib dir wie beim letzten mal den Sinus Hyperbolicus in der Exponentialfunktionsdarstellung und bedenke, das \( \frac {d} {d\omega} \sinh(\omega) = \cosh(\omega) \).

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Vielen Dank. Das ist ja verhältnismäßig leicht. Ich frage mich nun, wie die Ungleichungen zwischen den Mittelwerten unten bilde. Da kann ich irgendwie noch keinen Zusammenhang zum MWS herstellen. Da das nur die Hälfte der Aufgabe ist, müsste das ja eigentlich ähnlich leicht sein. Wo setze ich da an?   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Nutze wieder die Darstellung durch die Exponentialfunktion und substituiere mal. Du musst viele Logarithmus und Potenzregeln nutzen und kommst so irgendwann auf einen ähnlichen Ausdruck.
Von da brauchst du dann eine wichtige Regel für Ungleichungen. Es geht darum wann sich die Vergleichszeichen umkehren.
Versuchs erstmal sonst melde dich nochmal :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Ich hab's geschafft. Der Trick mit der Umkehrung war tatsächlich entscheidend. Danke! ;)   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Das freut mich zu hören. Sehr gerne :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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