Exponentialfunktion für reelle Zahlen


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Hallo,

leider verstehe ich nicht, wie man hier von ln'(1) starten soll und was es damit überhaupt auf sich hat.

Ich würde mich freuen, wenn jemand Licht ins Dunkle bringen könnte. Danke!

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo!

 

\(\displaystyle 1 = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{x}\left(\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{\frac{x}{n}} = 1+\frac{x}{n} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}^x \).

 

Zum zweiten Teil:

 

\(\displaystyle 1 = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{x}\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-1\right) \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} 1+\frac{x}{n} = \mathrm{e}^{\frac{x}{n}} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}n\cdot\ln\left(1+\frac{x}{n}\right) = x \quad\Longleftrightarrow\quad x = x\).

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Hallo, vielen Dank für die Antwort. Bei der allersten Äquivalenz verstehe ich leider nicht, wieso ich e^(x/n) setze. Vorher habe ich doch den Vorfaktor n/x, wenn ich diesen verwende, erhalte ich e^(n/x) (was nicht korrekt ist). Mich würde also interessieren, wie man dahin gelangt.   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Bei deiner zweiten Rechnung verstehe ich nicht, wo die erste Gleichung herkommt und wie man dann auf die Äquivalenzen kommt. Handelt es sich dabei um ln(e)? Wenn ja, woher stammt dann das x?   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Ich habe einfach für \(\displaystyle h = \frac{x}{n}\) eingesetzt und mit den entsprechenden Rechenregeln für Brüche weitergerechnet. Bei der letzten Gleichung beziehe ich mich auf die erste, indem Du den Faktor als Exponenten „reinholst“ und damit dann die erste (bewiesene) Gleichung verwenden kannst. Außerdem gilt, dass \(\displaystyle \lim_{h\to 0} h = \lim_{n\to\infty} \frac{x}{n}\).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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