Ableitungen überprüfen und die y-Werte bestimmen [Kurvendiskussion]


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Gegeben ist die Funktionenschar \( { f }_{ k }(k\gt0)\) mit \({ f }_{ k }(x)={ xe }^{ -kx } \)

Bestimmen Sie den Extrempunkt und den Wendepunkt des Graphen von \({ f }_{ k }\)

k|2ke2)

Lösungen:

\(Hochpunkt (\frac{ 1 }{ k }|\frac{ 1 }{ ke }) \)

\(Wendepunkt (\frac{ 2 }{ k }|\frac{ 2 }{{ ke }^{ 2 } }) \)

 

Meine Fragen:

1) Ableitungen überprüfen

2) y-Werte ausrechnen (die Werte habe ich in die Funktion eingesetzt, jedoch komme ich nicht weiter)

3) Soweit ich weiß, hat die Funktionenschar den Wendepunkt mit Recht-Links-Krümmung (ich habe aber L-R-Krümmung...)

 

gefragt vor 3 Monate, 4 Wochen
x
xjsmx,
Schüler, Punkte: 249
 
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1 Antwort
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"Ableitungen überprüfen"

ableitungsrechner.de

Die ersten zwei Ableitungen stimmen aber.

"y-Werte ausrechnen (die Werte habe ich in die Funktion eingesetzt, jedoch komme ich nicht weiter)"

\(f\left(\frac{1}{k}\right) = \dfrac{1}{k}\cdot e^{-k\cdot \frac{1}{k}} = \dfrac{1}{k}\cdot e^{-1} = \dfrac{1}{ek}\)

\(f\left(\frac{2}{k}\right) = \dfrac{2}{k}\cdot e^{-k\cdot \frac{2}{k}} = \dfrac{2}{k}\cdot e^{-2} = \dfrac{2}{e^2 k}\)


"Soweit ich weiß, hat die Funktionenschar den Wendepunkt mit Recht-Links-Krümmung"

Dritte Ableitung ist falsch.

\(f^{(3)}(x)=k^2 \left (-e^{-k x}\right) (k x - 3)\)

Eingesetzt ergibt es \(f^{(3)}\left(\frac{2}{k}\right) =\dfrac{k^2}{e^2} > 0, \;\; \forall k \neq 0\), also existiert eine RL Krümmung.

 

Kurvendiskussion auch hier berechenbar:

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion
https://www.mathepower.com/kurvendiskussion.php

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13176
 


noch mal vielen Dank für Ihre Hilfe!
  -   xjsmx, kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen
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