Hilfe bei einer Aufgabe.


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Schönen guten Tag, ich hab ein Problem bei folgender Aufgabe: \( \cos^2 {2x} = 1 - \sin^2 {x} + 4 * \sin^4 {x} \) Mein Ziel war es: \( \sin^2 {x} = z \) zu substituieren. Doch ich weiß nicht wie ich \( \cos ^2 {2x} \) in Sinus umzuformeln habe. Ist dieser Lösungweg auch richtig oder hättet ihr einen besseren Weg? Ich bedanke mich ganz herzlichst.

 

gefragt vor 3 Monate
s
serc94,
Punkte: 15
 

@macceroni_konstante: Die Identität lautet aber
cos²(2x)= 1-4sin²(x)+4sin⁴(x)
Wenn man die nutzt ist der Ansatz mit der Substitution der richtige
  -   eigenvector, kommentiert vor 3 Monate

Mein Fehler. Ich meinte \(\cos^2(2x)=(1-2\sin^2(x))^2=4 \sin^4(x) - 4 \sin^2(x) + 1\)   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate
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1 Antwort
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Hallo,

es gilt

$$\cos^2(2x)=1-\sin^2(2x)$$

Das ist der trigonometrische Pythagoras. Weiter gilt:

$$1-\sin^2(2x)=1-4\sin^2(x)\cos^2(x)$$

Dabei wurde benutzt, dass:

$$\sin^2(2x)=\Bigl(\sin(2x)\Bigr)^2=\Bigl(2\sin(x)\cos(x)\Bigr)^2=4\sin^2(x)\cos^2(x)$$

und das wiederum gilt, wegen

$$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x).$$

Das ist ein elementares Additionstheorem. Wir haben also bisher:

$$\cos^2(2x)=1-4\sin^2(x)\cos^2(x)$$

Erneutes Anwenden des trigonometrischen Pythagoras liefert:
$$1-4\sin^2(x)\cos^2(x)=1-4\sin^2(x)\Bigl(1-\sin^2(x)\Bigr)=1-4\sin^2(x)+4\sin^4(x)$$

Ich hoffe das ist ausführlich genug und eine Alternativlösung ohne Substitution! :)

geantwortet vor 3 Monate
endlich verständlich, verified
Student, Punkte: 1100
 
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