Abbildungsgleichung Geometrie


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Hallo, ich verstehe die Aufgabe nicht:

Geben Sie die Abbildungsgleichung der Geradenspiegelung σg: G2R --> G2(R) an mit σg(P) = Q.

Gegeben sind P (2,3) und Q(7,9).

Ich hab da raus: 5x + 6y - 58,5 = 0. Aber das ist doch die Gleichung der Mittelsenkrechten. Ist die Abbildungsgleichung die Mittelsenkrechte?

 

Ähnliche Aufgabe: Es sei σg: R2 --> R2 mit σg(P) = Q. Berechnen Sie σg(1,2). 

Womit berechnet man das? Und was berechnet man? Ich würde jetzt die selbe Rechnung wie in der vorherhigen Aufgabe machen, also σg(1,2) = Q, also 3,5
In den vorherigen Teilaufgaben war gegeben: P(1,1), Q(3,5) und vorher hat man den Mittelpunkt M berechnet und (σp o σM o σQ) (M) 
o= Verkettung

Außerdem sollen wir die Abbildungsgleichung einer Punktspiegelung bestimmen können. Wie geht das?

 

Ich bin dankbar für jede Hilfe. :) Danke schonmal.

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
n
nele123,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

du hast als Lösung eine Gleichung. Das ist keine Abbildung. Du könntest natürlich nach y umstellen und hättest eine lineare Abbildung in Abhängigkeit von x, aber das wäre dann keine Spiegelung mehr.
Allerdings muss man natürlich P an der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke spiegeln um Q zu erhalten (Wenn du in einen Spiegel guckst, ist ja der Spiegel auch genau in der Mitte zwischen dir und deinem Spiegelbild).
Wie hast du deine Gleichung berechnet? Über die Verbindungsgerade der Punkte?

Ich weiß nicht genau was ihr in der Vorlesung gemacht und ich habe leider auch nicht allzu viel Erfahrung mit synthetischer Geometrie, aber versuchen wir es trotzdem mal.

Nun hast du auf jeden Fall die Geradengleichung der Spiegelachse. Diese Achse ist Senkrecht zur Verbindungsgerade eines Punktes und seines Spiegelbildes und teilt diese Gerade genau in der Hälfte.
Da wir im \( \mathbb{R}^2 \) sind vereinfache ich mal deine Achsengleichung zu

\( y_1 = - \frac 5 6 x + \frac {39} 4 \)

Nun hat eine orthogonale Gerade den negativen Kehrwert als Steigung, also

\( y_2 = \frac 6 5 x + n \)

Wir können nun unseren Punkt \( (1,2) \) einsetzen und erhalten

\( y_2 = \frac 6 5 x + \frac 4 5 \)

Wenn du dir das ganze jetzt mit beispielsweise GeoGebra visualisierst, siehst du schon das \( (1,2) \) nicht auf \( (3,5) \) gespiegelt werden kann

Vielleicht kannst du einmal zeigen wie du auf deine Geradengleichung gekommen bist. 

Eine wirkliche Abbildung von dem einen Punkt auf den anderen könnten wir natürlich auch über Matrizen darstellen.

Eine Spiegelmatrix hat die Form

\( \begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & \sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & \cos(2\alpha) \end{pmatrix} \)

Nun spiegelen wir aber nicht an einer Ursprungsgerade, sondern an einer um den Ortsvektor \( \vec{a} \) verschobene Ursprungsgerade. Also verschieben wir zuerst unseren Vektor so als würden wir ihn an einer Ursprungsgerade spiegelen und verschieben den Spiegelpunkt wieder zurück. Das können wir über folgende Rechnung erreichen

\( \begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & \sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & \cos(2\alpha) \end{pmatrix} \cdot (\vec{p} - \vec{a} ) + \vec{a} \). 

Dabei ist \( \vec{a} \) der Ortsvektor unserer Spiegelachse. \( \alpha \) ist dann der Neigungswinkel zu x-Achse.

Ich hoffe das hilft dir weiter. 

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 
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