Stetigkeit einer Funktion


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Hallo, ich soll folgende Funktionen(oben), nach Stetigkeit überprüfen.

Im ersten Teil sagt er, man müsse die -1 und die 2 überprüfen wieso nicht die 8 ? Das wäre meine erste Frage

Dann setzt er 1/-1² = -2³  = bei der ersten  Funktion kommt dann +1 beim zweiten -1.

Dh das die Funktion ja schonmal nicht an der Stelle Stetig ist, da f1 /= f2. Das verstehe ich zwar

aber im nächsten Schritt Vergleicht er x³  mit 2x+ 4 .

 

Meine Frage wäre jetzt hier wieso überprüft er nicht mehr 1/x² ?

 

Woran erkenne ich wo ich was Prüfen muss. Ich hoffe ihr versteht worauf ich hinnaus will und an welcher Stelle ich Hilfe brauche.

 

 

 

 

gefragt vor 3 Monate, 4 Wochen
a
asdasd,
Punkte: 50
 
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2 Antworten
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Hallo!

 

Dir sollte auffallen, dass dies an sich alles Kompositionen stetiger Funktionen sind. Stetigkeit bedeutet aber auch, dass kein „Sprung“ (sehr grob gesprochen) vorliegt.

 

Wenn wir aber

 

\(\displaystyle  \lim_{x\to 1^-}f(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x\to 1+} f(x)\) anschauen, so „springt“ die Funktion an jener Stelle. Wenn man aber den kritschen Wert \(\displaystyle  x\to 2\) betrachtet, so stellt dieser keinen Sprung da (Folgen-Kriterium \(\displaystyle  \lim_{n\to\infty} a_n =: a, \quad f(a) = \lim_{n\to\infty} f(a_n) = f\left(\lim_{n\to\infty} a_n\right)\), so liegt Stetigkeit im Punkt \(\displaystyle  a\) vor; kein Sprung).

 

Bemerkung. Hier siehst Du also, dass wir uns von links nach rechts durcharbeiten und so die verschiedenen Fallunterschiedungen tätigen. Wir gehen also von einer Funktion zur anderen …

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
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einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Verstehe ich absolut nicht, da du in einem Teil sagst, dass keine Stetigkeit vorliegt aber im zweiten Teil sagst du das sie an jener Stelle springt, das ist doch paradox?

Woran erkenne ich denn ein kritischen Wert ? Wieso ist die 8 eingesetzt kein kritischer Wert woran machst du das fest?

Das man weiß ob die Funktion links oder Rechts liegt machst du nach dem x Wert fest, denn wir prüfen sollen richtig?
  -   asdasd, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Hallo ich habe mich nochmal damit befasst. also das man die 8 nicht einsetzt ist da sie ganz Rechts ist und wir ja von links nach Rechts Prüfen ist diese Aussage richtig?

Die einzige Sache die mich nur noch etwas verwirrt ist, dass du sagst das die Funktionen Stetig sind aber dann auf einmal nicht Stetig ist, eine Funktion kann doch nur Grundsätzlich Stetig sein und oder nicht Stetig.
  -   asdasd, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Hi,
Jein du kannst eine Funktion in einem Intervall als stetig ansehen. Das ist deine Funktion auch.
  -   putzzmunta, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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Hallo,

du hast eine "zusammengeklebte" Funktion. Deine Funktion besteht aus drei (jeweils für sich genommen stetige) Funktionen, die an den Stellen \(-1\) und \(2\) "geklebt" sind. Deswegen brauchst du dir keine Sorgen um Stetigkeit abgesehen von den Klebestellen zu machen. Die \(8\) ist weit weg von den Klebestellen \(-1\) und \(2\), deswegen brauchst du die nicht zu betrachten.

Wenn du jetzt Klebestellen auf Stetigkeit überprüfst, also da wo je zwei deiner Funktionen zusammentreffen, musst du die Funktionswerte an diesen Stellen anschauen:

$$f_1(-1)=\frac{1}{(-1)^2}=1\neq -1=(-1)^3=f_2(-1)$$

Die erste Klebestelle \(-1\) ist eine Unstetigkeitsstelle. Deine Funktion "springt" von \(1\) zu \(-1\). Die Bezeichnungen \(f_1\) und \(f_2\) sind jeweils für die erste und zweite Funktion die geklebt wird.

Nun zur zweiten Stelle:

$$f_2(2)=2^3=8=2\cdot2+4=f_3(2)$$

Diese Stelle ist keine Unstetigkeitsstelle. Flapsig gesprochen wurde da "richtig zusammengeklebt", also so, dass keiner merkt, dass hier geklebt wurde, wenn er die Funktion sieht :P

Ich hoffe diese etwas intuitivere Herangehensweise hat dir geholfen! :)

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geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
endlich verständlich, verified
Student, Punkte: 1180
 
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