Äquivalenrelation und Partition


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Hi,

ich soll erläutern können, wie eine Äquivalenzrelation auf einer Menge eine Partition dieser Menge erzeugt und umgekehrt.

 

Leider wüsste ich nicht wie ich das in der mündlichen Prüfung schritt für schritt erklären soll.

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
m
malro10,
Student, Punkte: 118
 
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1 Antwort
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Hallo,

eine Partition einer Menge M ist eine Menge von Teilmengen von M die disjunkt sind. 
Beispiel: \( M = \{ 1,2,3 \} \) eine mögliche Partition wäre \( P := \{ \{1,2\} , \{3\}\} \).

Warum ist das nun eine Äquivalenzrelation? Wir können dieses disjunkten Teilmengen als Äquivalenzklassen ansehen. 
Die Äquivalenzklasse \( \{1,2\} \) bedeutet dann das \( 1 \sim 2 \) und \( 2 \sim 1 \) (Antisymmetrie), aber auch \( 1 \sim 1 \) und \( 2 \sim 2 \) (Reflexivität). Für die Menge \( \{3 \} \) erhalten wir \( 3 \sim 3 \). 
Die Transitivität wird durch die Disjunktheit der Teilmengen gewährleistet. Ist dir klar warum?

Nun kannst du das ganze nochmal von der anderen Seite dir angucken. 

Nimm dir mal eine Äquivalenzrelation und bastel dir daraus die Menge der Äquivalenzklassen. Das die Äquivalenzklassen Teilmengen von \( M \) sind ist denke ich sehr einleuchtend oder?

Auch hier steht die Disjunktheit der Teilmengen mit der Transitivität in Verbindung. Ist dir klar warum das gilt?

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 
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