Störfnktion


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Moin, mich würde es Interessieren wann ich welche Funktion benutzen muss. Als Beispiel: e^(2x) Nehme ich jetzt Typ 1 oder Typ 2?

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
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adrians,
Student, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo,

die Wahl des Ansatzes, hängt nicht nur von der Störfunktion ab.

Du musst hier jetzt die Nullstellen der charakteristischen Funktion überprüfen. Ist dir klar was die charakteristische Funktion ist?

Ihr müsstet zuvor den so genannten Exponentialansatz für gewöhnliche DGL kennen gelernt haben. Durch ihn kommt man von der DGL

\( a_{n} y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_{0} y^{(0)}(x) = 0 \)

mit dem Ansatz\( f(x) = e^{\lambda x} \) auf die charakteristische Funktion

\( \chi (\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_0 = 0 \)

Wir berechnen von dieser Funktion die Nullstellen. Dadurch erhalten wir die Lösungen unserer homogenen Gleichung. 

Sollte nun unsere DGL von oben inhomogen sein, also 

\( a_{n} y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_{0} y^{(0)}(x) = e^{cx} \)

dann bestimmen wir zuerst die homogene Lösung, wie oben und müssen uns dann als Ansatz für unsere Störfunktion zwischen Typ 1 und Typ 2 entscheiden. 

Nun vergleichen wir unser \( c \) mit den \( \lambda_i \), für die \( \chi( \lambda_i ) =0 \) gilt, also unseren Nullstellen der charakteristischen Funktion.

Gilt für ein \( i \) \( \lambda_i = c \), so wählen wir Typ 2. Gilt die Gleichheit für kein \( i \), so wählen wir Typ 1. 

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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