Beweis der Regel von de l'Hospital


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Hallo,

ich kenne die Regel zwar noch aus Schulzeiten, aber bewiesen wurde sie dort natürlich nicht. Ich habe auch schon ein wenig recherchiert, bin aber daraus nicht schlau geworden.

Deshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, wie man den Beweis am besten angeht.

Vielen Dank!

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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2 Antworten
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Hallo!

 

Nun, wenden wir doch einfach mal die Regel an sich an:

 

\(\displaystyle  \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \underbrace{\frac{f'(x)}{g'(x)}}_{=\frac{0}{0}} = \cdots = \lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}\).

 

Nun zu der Aufgabe:

 

Wenn wir \(\displaystyle \frac{1-\cos(2x)}{2} = \sin^2(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1-\cos(x)}{2} = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \) ist und damit den Ausdruck zu

 

\(\displaystyle  \frac{2\sqrt{1-x\sin(x)}}{1-\cos(x)} - \frac{2\cos(x)}{1-\cos(x)}\) umschreiben und hier einfach einmal ableiten und sehen, dass dann damit \(\displaystyle  \lim_{x\to 0} 1+\sin(x) \neq 0\) (für den Nenner) gilt und wir somit sehen, dass tatsächlich nach einmal ableiten wir die obige Bedingung haben und dann die die Regel von L'Hospital anwenden, so sehen wir, dass der Grenzwert verschwindet.

 

Gruß.

 

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Ist die Ableitung von 1-cos(x) nicht einfach nur sin(x)? Ich komme im Nenner nicht auf 1+sin(x).   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Ja, das ist sie, aber was ich geschrieben habe ist nur eine Äquivalenzumformung und nicht jene, bei welche die Regel von l'Hospital zum Einsatz kam …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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https://youtu.be/RsqeDCDT6Kg hier findest du ein Video in dem es erklärt wird
geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
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tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 

Wer auch immer das in meinem Namen verfasst hat - das Video erklärt nur die Regel, die ich bereits aus der Schule kenne und verstanden habe. Ich verstehe nicht, wie man den Beweis dazu angeht.   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Das mit den Namen ist denke ich ein Bug.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Will man hoffen ;)   -   tisterfrimster, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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