E-Funktion vereinfachen


0

Guten Abend,

ich soll den Shift-Operator \Phi mit \Phi[f] := f(t-1) anwenden auf:

\(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\) + \(e^{-t \cdot ln(2)}\)

Laut meiner Lösung kann ich das vereinfach zu:

\(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\) + 2\(\cdot\) \( (1/2)^t \)

Der Zweite Teil ist mir soweit klar. Kann mir jmd erklären, warum ich \(e^{2 \pi \cdot i \cdot (t-1)}\) vereinfach kann zu \(e^{2 \pi \cdot i \cdot t} \)

Besten Gruß

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
n
neresca,
Student, Punkte: 10
 

Du kannst Malpunkte mit \cdot schreiben und mit \*( \*) ohne Sterne deine Formelklammern machen! :)   -   endlich verständlich, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Du hast bei der e-Funktion auch zweimal das gleiche geschrieben, weswegen mir deine Frage unklar ist. :P   -   endlich verständlich, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Die Vereinfachung gilt nach Anwendung des Operators. Meine Frage lautet also wieso kann ich \(e^{2 \pi \cdot i \cdot (t−1)}\) vereinfachen zu: \(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\)
  -   neresca, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Du musst dein pi so schreiben \pi und eine Leerzeile dazwischen lassen :)   -   endlich verständlich, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Frage melden
2 Antworten
2

Hallo!


 


Vereinfache doch zunächsteinmal den Ausdruck an sich:


 


\(\displaystyle \mathrm{e}^{2\pi\cdot i\cdot t} + \mathrm{e}^{-t\cdot\ln(2)} = 1 + 2^{-t} \).


 


Anmerkung: Es ist offenkundig, dass \(t\in\mathbb{Z}\) ist.


 


Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1440
 

Auch hier ist mir nicht klar, warum ich den ersten Teil vereinfachen kann zu (-1)^t . Möglicherweise fehlt mir da Grundlagenwissen.   -   neresca, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Du musst bei der e-Funktion aufpassen. Erstens ist \(e^{2\pi i}=1\) und zweitens könnte \(t\) ja erstmal aus einer beliebigen Zahlenmenge sein und somit möglicherweise reell oder komplex sein! :)   -   endlich verständlich, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

P.S.: Also das muss man dann schon wissen, dass ich mich hier auf ganzzahliges \(t\) beziehe …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Ich denke mit den Infos komme ich weiter. Besten Dank. Ich werde mal versuchen meine Formeln leserlich anzupassen ;)   -   neresca, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
2

Hallo,


es gilt:


$$e^{2\pi\cdot i}=1.$$


Damit musst du aber sehr aufpassen, wenn noch mehr im Exponenten steht, denn sonst passieren dir schlimme Dinge:


$$-1=e^{\pi\cdot i}=e^{\frac{2}{2}\pi\cdot i}=(e^{2\pi\cdot i})^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1$$


und das ist offensichtlich falsch, obwohl erstmal vielleicht nicht klar ist, was schief gelaufen ist. Wenn in der \(e\)-Funktion \(2\pi i\) alleine steht, ist alles gut, aber wenn da irgendwas dran multipliziert wird, gelten nicht alle bekannten Umformungsschritte der \(e\)-Funktion! :)

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
endlich verständlich, verified
Student, Punkte: 2080
 


Ja, genau sowas meine ich, aber sowas ist Grundlagenwissen und ich erläutere ja nicht alles bis ins kleinste Detail … aber sehr gute Antwort, von mir ein Upvote!
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Naja, er hatte ja gefragt, was man mit dem \(e^{2\pi i}\) anstellen kann, deswegen wollte ich ihm das noch mit auf den Weg geben, weil ich das selbst lange Zeit falsch gemacht habe. :P   -   endlich verständlich, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Ich finde es auch gut erklärt, ich wollte nur sagen, dass ich davon ausgegangen bin, dass er dies schon wusste … aber nichts desto trotz ist die Antwort Spitze!   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden