Definitionsbereich und Extremstellen, Man soll die erste Ableitung auf einen gemeinsamen Nenner bringen


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f(x)=(X-1)*\sqrt{1+2x}

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
r
racingralph,
Punkte: 5
 

Hallo, habe versucht ein Foto hochzuladen ohne erfolg. Jetzt habe ich die Aufgabe eben versucht so hoch zuladen. Die Aufgabe lautet bestimmen Sie den Definitionsbereich und die Extremstellen der Funktion. Die Funktion lautet: f von x istgleich x minus eins in klammern mal Wurzel eins plus x. Also f(x) = (x-1)Wurzel1+2x
Über eine Hilfestellung/Lösung würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank und viele Grüße
  -   racingralph, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Über die Produktregel habe ich die erste Ableitung gebildet. Ab der zweiten wird es dann allerdings sehr unübersichtlich. Zweite Ableitung über die Quotientenregel mit Bruch Und wurzel über den Bruch :(   -   racingralph, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Für den Definitionsbereich könnten Einschränkungen bei der Wurzel auftreten. Das Argument von dieser darf nicht negativ sein.

Es muss also gelten \(1+2x \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq -1 \Leftrightarrow x \geq -0.5\)

Somit lautet der Definitionsbereich \(D_f=\{x\in \mathbb{R} \,\vert\, x \geq -0.5\}\).


Wieso nutzt du die Quotientenregel? Multiplikation mithilfe der Produktregel:

\(\begin{equation}\begin{split}
f'(x)&=\left [ x-1 \right ]' \cdot \sqrt{1+2x} + (x-1) \cdot \left [ \sqrt{1+2x} \right ]' \\
&= 1 \cdot \sqrt{1+2x} + (x-1) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+2x}} \\
&=  \sqrt{1+2x} + \dfrac{x-1}{\sqrt{1+2x}} \\
&= \dfrac{\sqrt{1+2x}\cdot \sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2x}} + \dfrac{x-1}{\sqrt{1+2x}}\\
&= \dfrac{\sqrt{1+2x}\cdot \sqrt{1+2x} + x-1}{\sqrt{1+2x}} \\
&=\dfrac{3x}{\sqrt{1+2x}}
\end{split}\end{equation}\)

(auf das Rationalisieren verzichte ich mal)

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Dankeschön! Mir wird die Lösung leider nicht korrekt angezeigt, wie kann ich diesen Code entschlüsseln?   -   racingralph, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

\( f'(x)&=\left [ x-1 \right ]' \cdot \sqrt{1+2x} + (x-1) \cdot \left [ \sqrt{1+2x} \right ]' \\
&= 1 \cdot \sqrt{1+2x} + (x-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{1+2x}} \\
&=  \sqrt{1+2x} + \frac{x-1}{\sqrt{1+2x}} \\
&= \frac{\sqrt{1+2x}\cdot \sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2x}} + \frac{x-1}{\sqrt{1+2x}}\\
&= \frac{\sqrt{1+2x}\cdot \sqrt{1+2x} + x-1}{\sqrt{1+2x}} \\
&=\frac{3x}{\sqrt{1+2x}} \)
  -   racingralph, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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