Beweis durch vollständige Induktion


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Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle $n\in\mathbb{N}$ die Summenformel $$\sum\limits_{k=1}^{n}{k^3}=\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}$$ gilt.

 

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Hallo!


Du gehst bei dem Beweis wie folgt vor:


Induktionsanfang \(\mathcal{A}(n_0)\)


Da die Behauptung für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden soll, wird \(n_0=1\) als Startwert gewählt und dieser in beide Seiten der Summenformel eingesetzt. Sind die Ergebnisse gleich, so ist der Induktionsanfang gezeigt:


- \(\sum\limits_{k=1}^{n_0}{k^3} =\sum\limits_{k=1}^{1}{k^3}=1^3 = 1\)


- \(\frac{n_0^2\cdot (n_0+1)^2}{4}=\frac{1^2\cdot (1+1)^2}{4}=\frac{1\cdot 2^2}{4}=\frac{4}{4}=1 \checkmark\)


Induktionsvoraussetzung \(\mathcal{A}(n)\)


$$\exists n\in\mathbb{N}:\sum\limits_{k=1}^{n}{k^3}=\frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}$$


Induktionsbehauptung \(\mathcal{A}(n+1)\)


$$\Longrightarrow\sum\limits_{k=1}^{n+1}{k^3}=\frac{(n+1)^2\cdot ((n+1)+1)^2}{4}$$


Induktionsschluss \(\mathcal{A}(n)\Longrightarrow\mathcal{A}(n+1)\)


$$\begin{array}{l} \sum\limits_{k=1}^{n+1}{k^3}\\ = \left(\sum\limits_{k=1}^{n}{k^3}\right)+(n+1)^3\\ =_{I.V.} \frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\ = \frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\ = \frac{n^2\cdot (n+1)^2+4\cdot(n+1)^3}{4}\\ = \frac{n^2\cdot (n+1)^2+4\cdot(n+1)^3}{4}\\ = \frac{(n+1)^2\cdot (n^2+4\cdot(n+1))}{4}\\ = \frac{(n+1)^2\cdot (n^2+4\cdot n +4)}{4}\\ = \frac{(n+1)^2\cdot (n+2)^2}{4}\\ = \frac{(n+1)^2\cdot ((n+1)+1)^2}{4}\checkmark \end{array}$$ \(\square\)


Beste Grüße
André


 

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
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