Taylorreihen und deren Konvergenzintervall


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Hallo ich soll folgende Aufgabe machen:

Die Taylorreihen habe ich schon bestimmt, doch leider tue ich mich mit den Konverganzradius etwas schwer.

Ich habe es für a) und b) schon versucht, indem ich dieses Restglied aufgestellt habe und geguckt habe wann das gegen Null geht. Da ist meine Frage, ob ich zwei mal das restglied aufstellen muss, weil es ja einmal sein kann, dass cosh meine n-te Ableitung ist und einmal  sinh meine n-te Ableitung ist, je nachdem, ob mein letztes n gerade oder ungerade ist.

Und bei c) und d) habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie meine n-te Ableitung aussieht, deswegen habe ich da schwierigkeiten das Restglied aufzustellen. Wie gehe ich da am besten vor?

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
j
joline,
Student, Punkte: 40
 

Für Potenzreihen gilt: \(\displaystyle r = \lim_{k\to\infty} \left\vert\frac{a_k}{a_{k+1}}\right\vert \).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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Ach ja tut mir Leid. Bei der d) habe ich selbst die Fakultät im Nenner vergessen. Du hattest absolut recht. Entschuldige bitte die Verwirrung.

Zu der c) es geht ja nur darum das du dir die Potenz von deinem \( x \) anguckst. Unsere Reihe ist

\( \sum_{k=0}^{\infty} \frac {(2k-1)!!} {(2k)!! \cdot (2k+1)} x^{2k+1} \)

Damit ist \( a_k =  \frac {(2k-1)!!} {(2k)!! \cdot (2k+1)} \) 

Nun ist also wie bei der b) nur jeder zweite Koeffizient ungleich Null, nämlich die mit ungeraden Exponenten. Daraus kannst du dir wieder eine Folge \( a_j \) basteln.

Oder Alternativ die \( 2k+1\)-te Wurzel nehmen und gucken welche Häufungspunkte diese Folge hat.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Okay jetzt habe ich es verstanden. Vielen dank für deine Hilfe :) .   -   joline, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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Hallo,

wie einmalmathe schon geschrieben hat, kann unter Umständen die Formel \( r = \lim_{n \to \infty} \vert \frac {a_n} {a_{n+1}} \vert \) nutzen. 

Wenn dieser Quotient keinen Grenzwert hat, musst du auf die Formel von Cauchy-Hadamard anwenden

\( r = \frac 1 {\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} \)

Vielleicht magst du einmal deinen Lösungsansatz hochladen, dann kann man eher sehen wo du nicht weiter kommst und besser helfen.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Also ich habe bisher die Taylorreihen für alle Teilaufgaben aufgestellt

a) \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2k)!} x^{2k}\)

b) \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2k-1)!} x^{2k-1}\)

c) \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac {(2k-1)!!} {(2k)!!} \frac {x^{2k+1}} {2k+1} \)

d)\( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k+1} \)



Für a) und b) habe ich versucht über die Lagrange Darstellung des Restgliedes das Konvergenzintervall zu bestimmen, da wir einen Satzt haben, dass die Taylorreihe konvergiert, wenn das Restglied gegen Null geht. Da ist mein Problem, dass ich die n-te Ableitung benötige und die ja zwei unterschiedliche Formen annehmen kann und ich jetzt nicht weiß mit welcher n-ten Ableitung ( also coshx oder sinhx) ich arbeiten soll, oder ob ich beide betrachen muss.

Bei c) und d) habe ich noch keinen Ansatzt um das Konvergenzintervall zu bestimmen, da ich nicht weiß, wie die n-te Ableitung aussieht. ich weiß zwar, dass mal das über die Potenzreihen machen kann, aber bin mir nicht ganz sicher wie das Funktioniert.

Die beiden Formeln, die du oben genannt hast haben wir auch so im Skript stehen. Ich bin mir aber unsicher, wie ich die anwenden soll, da meien Potenzreihe ja nicht die Form

\( \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} (x-x_{0})^k \) hat, sondern im Exponenten ein 2k oder 2k-1 steht. Und ich weiß jetzt nicht ob ich das irgenwie speziell berücksichtigen muss, oder ob ich mir einfach a_{k} angucke und den Rest ignoriere. Und wie sieht mein ak dann bei c) und d) aus?
  -   joline, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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Zur b) hier würde ich für die ungeraden Zahlen eher \( 2k+1 \) anstatt \( 2k-1 \) wählen, da du für \( k=0 \) ansonsten den Wert -1 erhälst und wir wollen ja bei 1 starten.

zur c) hier musst du die Reihe auch bei \( k=0 \) starten

Zur d) hier fehlt noch ein Vorfaktor, es gilt

\( f^{(0)}(0)= 0 \ , \ f^{(1)}(0)= 1 \ , \ f^{(2)}(0)= 0 \ , \ f^{(3)}(0)= -6 \ , \ f^{(4)}(0)= 0 \ , \ f^{(5)}(0)= 120 \ , \ldots\)

Nun zum Konvergenzradius. Du kannst natürlich auch über das Restglied argumentieren. Aber durch die wechselnden Ableitungen würde ich auch eher die oben genannten Formeln nutzen. Gucken wir uns das mal für die erste Reihe an

\( \sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {(2k)!} x^{2k} \)

Nun schauen wir uns mal die allgemeine Form einer Potenzreihe an, für die die obigen Formelen hergeleitet wurden, wir erhalten

\( \sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j \) 

Nun wollen wir eine Folge \( a_j \) aufstellen, damit wir unsere ursprüngliche Reihe erhalten. Gucken wir uns die ersten Summanden unserer Reihe an, so erhalten wir

\( \frac {x^0} {0!} + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \ldots \)

Es fehlt also trivialerweise jeder zweite Summand ( nämliche alle mit ungeraden Exponenten ). Also definieren wir die Folge

\( a_j := \left\{ \begin{matrix} \frac 1 {j!} , \ \text{falls j gerade} \\ 0 , \ \text{falls j ungerade} \end{matrix} \right. \)

Nun schauen wir uns die Formel von Cauchy-Hadamard an

\( r = \frac 1 {\limsup_{j \to \infty} \sqrt[j]{\vert a_j \vert}} \)

Wir teilen durch die Limes Superior, also durch den größten Häufungspunkt von \( \sqrt[j]{\vert a_j \vert} \).

Einen Häufungspunkt können wir sofort sehen, wenn wir unsere neue Folge aufstellen und zwar die Null. Schließlich ist jeder zweite Summand Null und bei unendlich vielen sind dies unendlich viele Nullen, somit ist Null ein Häufungspunkt.

Nun kommt noch die Frage auf, welche Häufungspunkte unsere andere Teilfolge \( \frac 1 {j!} \) hat. 
Tatsächlich nur die Null, denn der Grenzwert der Folge ist Null (und somit einziger Häufungspunkt).

Wir erhalten also als Menge der Häufungspunkte \( \{0 \} \). Und davon ist logischer weise auch die Null unser größtes Element, also erhalten wir

\( r= \frac 1 0 \)

Dies ist definiert als 

\( r = \frac 1 0 = \infty \)

Wir erhalten also als Konvergenzbereich

\( (x_0 -r , x_0 +r ) = (-\infty , \infty) \)

Unsere Reihe konvergiert also für alle \( x \).

Nun kannst du aber meistens diesen Gedanken schon abkürzen. Ich meine es ging nicht immer, deshalb diese Erklärung dazu (und wegen der Tatsache das die Null ein Häufungspunkt ist bei Lückenreihen, dadurch das nicht jede Potenz von \( x \) vorkommt ).

Wir nehmen in der Formel von Cauchy-Hadamard die \(k\)-te Wurzel. Das liegt daran, da die Formel aus dem Fall der allgemeinen Potenzreihe abgeleitet wird. 
Nun haben wir die Potenz \( 2k \). Wir können also in unserem Fall die \( 2k\)-te Wurzel ziehen und kommen auch zum Erfolg. Also

\( r = \frac 1 {\limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\vert a_k \vert}} \\ r = \frac 1 {\limsup{k \to \infty} \sqrt[2k]{\vert \frac 1 {(2k)!} \vert}} \\ r = \frac 1 0 = \infty \)

Versuch es mal mit den anderen, ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 
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Also die b) habe ich jetzt hinbekommen. Die geht ja analog zur a), nur das diesmal die geraden wegfallen und die ungeraden stehen bleiben.

Aber wie genau gehe ich jetzt bei der c) vor? Ich habe mir jetzt mal die Reihe angeguckt, wie du das für die a) auch gemacht hast:

\( \frac {1!!x^3} {2!!*3} + \frac {3!!x^5} {4!!*5} + \frac {5!!x^7} {6!!*7}... \)

Doch da erkenne ich jetzt keinen Häufungswert. 

Und bei der d): Was fehlt mir denn da? Wenn ich in meine funktionen x=0 einsetzt kommt da 

 \( f^{(0)}(0)= 0  f^{(1)}(0)= 1  f^{(2)}(0)= 0  f^{(3)}(0)= -6  f^{(4)}(0)= 0 f^{(5)}(0)= 120 \)

raus das habe ich auch so. Aber ich muss ja die Taylorreihe aufstellen und da habe ich dann als Reihenglieder:

\( x - x^3 + x^5 - x^7 ... \) und dafür müsste meine allgemeine Formel doch richtig sein, oder?




geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
j
joline,
Student, Punkte: 40
 
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