Ungleichung beweisen


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https://youtu.be/ZNKnXYSgA6M

 

Kurze Frage zu dem Video:

Gibt es eine Möglichkeit das am Ende ohne Taschenrechner sauber zu beweisen? 

54n^2-3n>7

54n^2>3n+7

Das das gilt für alle n>=1, n e N ist offensichtlich. 

In der Klausur würde das aber nicht ausreichen nehme ich an. Gibt es eine Methode um das nochmal deutlich zu machen?

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
m
m4rc7,
Student, Punkte: 10
 

Zeige doch einfach, dass beide Funktionen, also \(\displaystyle 54n^2\) und \(\displaystyle 3n\) streng monoton steigend für positive Wert von \(\displaystyle n\) sind und demnach Du nur noch den niedrigsten Wert betrachten musst, also \(\displaystyle n=1\), welche \(\displaystyle 54-3 = 51 > 7\) liefert und da Du gezeigt die Monotonie gezeigt hast, weißt Du, dass die Differenz stets größer wird also beim kleinsten Wert und demnach die Ungleichung erfüllt ist. Anderseits lässt sich hier natürlich mit vollständiger Induktion arbeiten …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Sehr gute Idee. Dankeschön!   -   m4rc7, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

@einmalmathe Möchtest du deinen Kommentar vielleicht als Antwort posten? Dann kann die Frage geschlossen werden :) Danke!   -   andré dalwigk, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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2 Antworten
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Wenn du zur jeder Gleichung dir eine Funktion vorstellen würdest, würdest du bemerken, dass eine Parabel mit der Steigung 54 subtrahiert der Geraden 3n ab Punkt 1 immer <7 sein wird, da die Parabel parabelförmig ansteigt und dieser Anstieg schon bei n=1 y=54 beträgt.

2) ist wie 1), nur dass die 7 die Gerade nach oben verschiebt.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
s
screamer,
Schüler, Punkte: 55
 
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Hallo!

 

Lösen wir die Gleichung

 

\(\displaystyle  54n^2-3n-7>0\) nach positiven \(\displaystyle  n\) auf, so erhalten wir

 

\(\displaystyle  n > \frac{7}{18}\). Da aber \(\displaystyle  n\in\mathbb{N} \land n\geq 1\) gilt, ist diese Bedingung also erfüllt – wzbw.

 

Bemerkung: Da wir zwei Nullstellen haben, verschwindet die Funktion an den Grenzen des bzw. ist \(\displaystyle <0 \) im Inneren des Intervalls \(\displaystyle  n\in[\xi_1,\xi_2]\) mit \(\displaystyle  (\xi_i)_{1\leq i\leq 2}\) bezeichnen die Nullstellen. Da heißt, dass, speziell in diesem Fall, die Funktion für alle anderen Werte \(\displaystyle  > 0\) sein muss.

 

Anmerkung:

 

Eine Alternative wäre:

 

\(\displaystyle 54n^2 > 3n \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{3}{54} \). Da aber \(\displaystyle  n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) ist, ist diese Bedinung erfüllt. Nun muss man sich den „kleinsten“ Fall anschauen: \(\displaystyle  n=1: \quad 54-3 = 51 > 7\) und da ja eben der quadratische Teil stets größer als der lineare Teil ist und der niedrigste Fall schon die Bedingung erfüllt, so wächst natürlich die Differenz. Man hätte es auch über vollständige Induktion beweisen können …

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 
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