Rechnerischer Nachweis auf Injektivität/Surjektivität


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Hallo,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen f : D → D mit D = [0, ∞) surjektiv, injektiv oder bijektiv sind.

a) f(x) = (x + 1)(x + 3)

b) f(x) = x(x + 2)

Es muss ja gelten: Injektiv, zu jedem y höchsten 1 x. Surjektiv, zu jedem y mindestens 1x. 

Wie untersuche ich nun rechnerisch die obigen Funktionen? Stehe momentan etwas aufm Schlauch :S

 

Danke vorab!

 

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
r
rah2k,
Student, Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Es gibt da kein mustergültiges Rezept. Für Injektivität aus f(x1)=f(x2) x1=x2 folgern. Für die Surjektivität bietet sich an y=... zu setzen mit y aus der Zielmenge und dann nach x umformen und schauen ob es das in der Definitionsmenge für jedes y aus der Zielmenge gibt. (Definitionsmenge und Zielmenge sind ja in diesem Fall D). Um es zu widerlegen immer ein Gegenbeispiel überlegen.
geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
c
crazyfroggerino,
Student, Punkte: 40
 
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Hallo!

 

Schau Dir zunächsteinmal die Ableitung an; diese muss eine Monotonie aufweisen

 

\(\displaystyle  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x+1)(x+3) = 2x + 4\).

 

Nun rechnest Du

 

\(\displaystyle  2x +4 \geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \geq -2\) und \(\displaystyle  2x + 4 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x < -2\). Desweiteren gilt: \(\displaystyle  f(x+\xi) > f(x)\) für \(\displaystyle  \xi > 0\) und vica versa, insofern \(\displaystyle  f(x) = (x+1)(x+3)\). Also bijektiv auf dem Intervall \(\displaystyle  (-\infty,-2]\) oder auf dem Intervall \(\displaystyle  [2,\infty)\). So verfährst Du weiter …

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
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