Konvergenz einer Reihe mit (wahrscheinlich) Wurzelkriterium


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Hallo zusammen,

bereite mich gerade auf meine kommende Matheklausur (Analysis und einige Lineare Algebra Themen). Dabei stieß ich auf Konvergenzen von Reihen, welche als Thema ja eigentlich noch recht angenehm wirken.

Dann bin ich auf eine Probeaufgabe für meine Klausur gestoßen, bei der ich eine Reihe auf konvergenz untersuchen muss.

\( \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2n^3-2}{6n^3+2})^n \) Es scheint ja recht offensichtlich, dass hier das Wurzelkriterium gefragt ist.

Dieses besagt ja \(\lim (n\rightarrow\infty) \sqrt[n]{|(\frac{2n^3-2}{6n^3+2})^n|} <= q < 1 \Rightarrow konvergiert absolut. \)

Wenn ich nun die n-Te Wurzel Ziehe und somit nur noch \(\lim n |(\frac{2n^3-2}{6n^3+2})| \) betrachte, kann ich ja \(n^3\) ausklammern, sodass ich \(\lim n |(n^3*\frac{2-\frac{2}{n^3}}{6+\frac{2}{n^3}})| \) erhalte.

So da ja \(\lim n +-\frac{2}{n^3} = 0\) hätte ich ja nun ein q gefunden. 

\(\lim (n\rightarrow\infty) |(n^3*\frac{1}{3})| <= \frac{1}{3}) \).

 

So hier nun zu meiner Frage. Die Reihe selbst geht von 0 bis unendlich, wenn nun n = 0 sei und ich dies einsetze 

\((\frac{2*0^3-2}{6*0^3+2})^0 = 1 \), dann hätte ich ja das Wurzelkriterium verletzt, weil mein q ja nicht kleiner gleich der Funktion ist, und ich bin nicht mehr echt kleiner als 1.

 

Heißt das jetzt, dass ich mit dem Wurzelkriterium nur wegen n=0 keine Aussage über die Funktion treffen kann, obwohl für n>0 die Folge konvergiert?

 

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
h
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1 Antwort
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Hallo, habe es am Ende selbst geschafft. Falls jemand ein ähnliches Problem hat dann lies weiter:

Es handelte sich um ein Verständnisproblem mit den Kriterien an sich:

Da man nämlich nicht ein einzelnes Glied der Formel bewertet sondern sogesehn den Grenzwert der n-ten Wurzel des Reihenglieds. Wenn dieser Grenzwert < 1 ist dann wird der Grenzwert ^n wie in der Reihe im unendlichen gegen 0 wachsen. Wordurch die Reihe konvergiert. Somit sind einzelne Glieder die > 1 sind irrelevant.

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
h
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