Extremwertaufgabe


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Die integration hat geklappt. Der rest nicht wirklich...

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
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petermuffen2,
Student, Punkte: 40
 

Die FG wäre in der Tat hilfreich.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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Sorry, irgendwie kam da ein Bild nicht mit.. tut mir wirklich leid.

 

Hier ist die Funktion.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
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petermuffen2,
Student, Punkte: 40
 
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\(f_2(x)=\dfrac{x}{8}+\dfrac{2}{x}\)

Dies integriert führt zu der Stammfunktion \(F_2(x)=\dfrac{x^2}{16} + 2 \ln(|x|)+C\)

Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(b\) beträgt: \(A(b) := F_2(b+3)-F_2(b)=-\dfrac{b^2}{16} + \dfrac{1}{16} (b + 3)^2 - 2\ln(b) + 2 \ln(b + 3)\) (Betragsstriche können weggelassen werden).

Wenn dieser Flächeninhalt nun minimal sein soll, böte es sich an, das Minimum von \(A(b)\) zu bestimmen.

\(A'(b)=0 \Leftrightarrow \dfrac{3 (b^2 + 3 b - 16)}{8 b (b + 3)} = 0 \Rightarrow b_{1,2}=\pm\dfrac{\sqrt{73}}{2}-\dfrac{3}{2}\)

Die Prüfung mithilfe der 2. Ableitung ergibt, dass für \(b=\dfrac{\sqrt{73}}{2}-\dfrac{3}{2}\) ein Minimum existiert.

Dieser Wert scheint korrekt zu sein:

https://www.desmos.com/calculator/ax7xa10c4a

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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