Analysis - exponentielles Wachstum mit Sättigungsgrenze


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Hallo alle!

Ich kann folgende Aufgabe nicht lösen (6.):

Hat jemand für diese Aufgaben eine nachvollziebare Lösung? Beispielsweise bin ich mir nicht sicher, ob für die Berechnung der Tangentengleichung (Aufgabe a) die 1. Ableitung der Funktion so richtig ist:

\(f'(t) = -a-ae^{(-t/b)}*(-t/b)\)

Die Lösung für a) ist laut Buch a/b*t - aber ich komm einfach nicht drauf..

Vielen Dank!

 

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
n
navar,
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2 Antworten
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Allg. FG: \(y=T(t)=mt+b\)

\(f'(t)=\dfrac{ae^{-t/b}}{b}\)

Die Steigung an der Stelle \(t=0\) beträgt \(f'(0)=\dfrac{a}{b}\)

Nun wird noch der Wert des Parameters \(b\) gesucht. Einsetzen des Punkts und der Steigung in die Tangentengleichung liefert: \(0=\dfrac{a}{b} \cdot a\left (1-e^{-0/b} \right) + b \Leftrightarrow 0=\dfrac{a}{b}\cdot 0 + b \Leftrightarrow b=0\)

Somit lautet die Tangentengleichung \(T(t)=\dfrac{a}{b}t\)


b) Du setzt \(T(t)\) gleich \(g(t)\) 


c) \(\lim\limits_{t\to \infty} a\left (1-e^{-t/b} \right) \\
= a\lim\limits_{t\to \infty} \left (1-e^{-t/b} \right) \\
= a \left (\lim\limits_{t\to \infty} 1 - \lim\limits_{t\to \infty} e^{-t/b} \right) \\
=a \left ( 1 - 0 \right ) \\
= a \cdot 1 \\
=a \;\;\;\;\;\; \forall b >0\)

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Hey vielen Dank! Hat mir sehr weitegeholfen (und ja, ich muss mir die Ableitungsregeln nochmals anschauen...). Jedenfalls Danke!

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
n
navar,
Student, Punkte: 15
 
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