Binominalverteilung - N gesucht


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Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zur Binominalverteilung verbunden mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit. Im Internet habe ich jetzt leider auch keinen anwendbaren Lösungsweg gefunden. 

 

Aufgabentext: 

Bei der Produktion digitaler Sensoren zur Detektion organischer Verbindungen in der Luft sind aufgrund prozessbedingter Fehler erfahrungsgema ̈ß 10% aller produzierten Sensoren defekt. Nehmen Sie hierbei an, dass die Funktionsfa ̈hig- keit aufeinanderfolgender Sensoren vollsta ̈ndig unabha ̈ngig voneinander ist.

Es werden nun zufa ̈llig 5 Sensoren aus der laufenden Produktion ausgewa ̈hlt und einer Qualita ̈tspru ̈fung unterzogen. Geben Sie die gesuchten Wahrschein- lichkeiten auf mindestens drei Stellen hinter dem Komma an.

  1. (a.)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle 5 Sensoren defekt?

  2. (b.)  MitwelcherWahrscheinlichkeitsindmindestens4Sensorenfunktionsfa ̈hig?

  3. (c.)  Wie viele Sensoren mu ̈ssten entnommen werden, damit mit einer Wahr- scheinlichkeit von mindestens 88% mindestens 5 Sensoren funktionieren?

Hinweis: 0,9= 0,32805 0,9= 0,59049 0.9= 0,531441 0,9= 04782969

 

 

Aufgabenteile A und B habe ich verstanden, lediglich Aufgabenteil C ist mir ein Rätsel.

 

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
f
f.freynhofer,
Punkte: 15
 
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3 Antworten
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Sei bei mir \( Y \) die Anzahl der funktionierenden Sensoren. Offenbar ist das zu betrachtende Zufallsexperiment dann \( B(n; 0.9) \)-verteilt. Es soll gelten: \( P(Y \geq 5) \geq 0.88 \).

Nun probieren wir durch:

  • Sei \( n = 5: \) Die Zufallsgröße \( Y \) ist dann \( B(5;0.9) \)-verteilt. Man berechne: $$ P(Y \geq 5) = P(Y=5) = \binom{5}{5} \cdot 0.9^5 \cdot 0.1^0 = 0.59049, $$ was offenbar nicht "genug" ist.
  • Sei nun \( n = 6: \) Die Zufallsgröße \( Y \) ist dann \( B(6;0.9) \)-verteilt. Man berechne: $$P(Y \geq 5) = P(Y=5) + P(Y=6) = \binom{6}{5} \cdot 0.9^5 \cdot 0.1^1 +  \binom{6}{6} \cdot 0.9^6 \cdot 0.1^0 \\ = 6 \cdot 0.9^5 \cdot 0.1 + 0.9^6 = 0.885735 $$ was nun offenbar stimmt.

Der Lösungsweg erscheint mir offensichtlicher.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
d
dreszig, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 640
 
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Welche Hilfsmittel sind erlaubt?

Da hier nicht nach "mindestens eine / einmal / etc." gefragt ist, ist das Vorgehen nicht ganz so einfach.

Sei \(X\) die Anzahl funktionierender Sensoren.
Gesucht ist \(P(X \geq 5) \geq 0.88\).

Dies ließe sich mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit noch zu \(1-P(X\leq 4)\geq 0.88 \Leftrightarrow P(X\leq 4) \leq 0.12\) umformen. 

Als Summe stünde dort \(\displaystyle\sum\limits_{i=5}^n \displaystyle\binom{n}{i}\cdot 0.9^i\cdot 0.1^{n-i} \geq 0.88 \Leftrightarrow \displaystyle\sum\limits_{i=0}^4 \displaystyle\binom{n}{i}\cdot 0.9^i\cdot 0.1^{n-i} \leq 0.12\)

Daraus folgt \(n\geq \lceil 5.965 \rceil = 6\)

Entweder man benutzt dafür einen CAS und lässt diesen rechnen, eine andere Möglichkeit wäre eine Wertetabelle mit verschiedenen n-Werten, wobei man nachschaut, bis man den geringsten Wert dafür findet (raten) bzw. über eine kumulierte Wertetabelle.

Hier bietet sich aber der Lösungsweg von dreszig an, zumal die Werte bereits in der Aufgabe gegeben sind.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Du berechnest die Wahrscheinlichkeit dessen, dass unter n Sensoren mindestens fünf kaputte Sensoren sind.   -   dreszig, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Stimmt, habs korrigiert.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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In unsere Klausur sind keinerlei Hilfsmittel erlaubt, deshalb war unter dem Aufgabentext auch die Werte der verschiedenen Potenzen von 0,9 gegeben.
Die Aufgabe ist aus einer Altklausur, welche ebenfalls ohne Hilfsmittel zu lösen war.

Gibt es noch einen anderen Lösungsweg?

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
f
f.freynhofer,
Punkte: 15
 

Meines Erachtens nach nicht.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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