Grenzwerte reeller Funktionen


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Hallo Mathe Community, ich habe ein grundlegendes Problem mit einer bestimmten Art von Grenzwerten. Der Grenzwert für lim x gegen unendlich von \((9x^{2} -1x)^{1/2}-3x\) ist -1/6, und nicht null, wie ich vermuten würde. Die Koeffizienten und generell Potenzen die unter der höchsten liegen, spielen hier mit in den Grenzwert ein. Formt man den Spaß durch erweitern um, landet man bei \({-x} \frac {3x} + {9x}^2 - x}^{1/2}\) Da darf ich dann plötzlich die Wurzel der 9x² ziehen und mit den 3x verrechnen, um auf -1/6 zu kommen. Stehe komplett auf dem Schlauch, wieso ich das oben nicht schon machen darf. Welche Grenzwertvorschrift übersehe ich? Wäre extrem dankbar für jede Form der Hilfe :)

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
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ehochpii,
Student, Punkte: 49
 

Verstehe ich richtig, dass Deine Frage ist, warum \( \sqrt{9x^2 - x} = 3x - \sqrt{x} \) nicht gilt?   -   dreszig, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen


Nein, meine Frage ist wieso ich nicht x(9-(1/x))^(1/2) gilt, was für Limes gegen unendlich zu 3x werden würde.

(Und der gesamte Ausdruck dann zu lim 3x - 3x ,also 0 sein würde)
  -   ehochpii, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Der Grenzwert von \( x \cdot \sqrt{ 9- \frac {1}{x} } \) lautet unendlich und sicher nicht 3x. Wie soll die Folge überhaupt gegen einen Wert konvergieren, der noch von x abhängt? Du entscheidest hier willkürlich, welcher x-Term gegen unendlich läuft und welcher nicht.
  -   chrometheus, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Der Ausdruck in der Wurzel geht ganz klar gegen 9, und damit die Wurzel gegen 3, oder etwa nicht?

Der Grenzwert für 3x geht damm gegen unendlich, es wird aber auch wieder 3x subtrahiert (ich verstehe dass das falsch ist, aber halt nicht warum)
  -   ehochpii, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Ich nehme an, du denkst an das Gesetz \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} \cdot {b_n} \) . Dafür müssen aber beide Grenzwerte existieren. Wie du richtig sagst ist \( \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{3x} = \infinity \) und entsprechend existiert dieser Grenzwert nicht.   -   chrometheus, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo!

 

Mit \(\displaystyle  \sqrt{9x^2-x}+3x\) erweitern:

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{-x}{\sqrt{9x^2\left(1-\frac{1}{9x}\right)}+3x} = -\frac{1}{3}\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{9x}}+1} = -\frac{1}{6} \).

 

Anmerkung: Es gilt \(\displaystyle  \sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\). Mit dem Gesetz \(\displaystyle  (ab)^2 = a^2\cdot b^2\) kannst Du die Umformung nachvollziehen.

 

Noch eine Anmerkung:

 

Dein Vorhaben scheitert an diesem Sachzusammenhang:

 

\(\displaystyle f(x) - g(x)  = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} - \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} = \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}} \).

 

Wenn Du nun hier die Regel L'Hospital anwendest, bekommst Du dein Ergebnis – Du kannst einfach nicht aussuchen, welcher Term relevant ist und welcher nicht – höchstens bei Divisionen, wobei Du auch da die besagte Regel anwenden könntest und dann siehst, woher diese Regel „nur die hohen Potenzen“ kommt …

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
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einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Ich kann die Umformung nachvollziehen, die Frage ist bloß weshalb ich sie nicht schon oben machen darf.   -   ehochpii, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Also einfach beim Grundterm x aus der Wurzel ziehen, und dann x(9- 1/x)^(1/2) -3x haben, und dann für lim gegen unendlich Null zu erhalten.   -   ehochpii, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen


Naja, Du kannst Dir ja mal überlegen, dass \(\displaystyle \sqrt{9x^2-x} < 3x \Leftrightarrow x > 0 \) (\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} x > 0\)) gelten muss und der Unterschied zwischen den beiden Funktionen (also die Differenz) doch nicht so stark sein kann, dass sie gegen \(\displaystyle 0\) läuft. Du kannst ja mal große Werte einsetzen und dies feststellen, ähnlich wie bei \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \mathrm{e} \neq 1\).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Ist das nicht so, dass ich bei sehr großen Werten für x die Terme von der nicht-höchsten-Ordnung vernachlässigen darf?

Weil lim x --> unendlich (9x²+4x)/(7x⁴-9x)^(1/2)
ist ja auch = 9/√7

Diese Überlegung scheitert bei genau dieser Aufgabe.

Danke schonmal für deine Hilfe!
  -   ehochpii, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Nein, Du widersprichst Dir: \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{9x^2+4x}{7x^4-9x} \glqq \lim_{x\to\infty} \frac{9x^2}{7x^4} \grqq = 0\).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

* \(\displaystyle „ \lim_{x\to\infty} \frac{9x^2}{7x^4} “\) …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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