Binomialkoeffizient


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Hallihallo,

ich soll eine Summe von einem Binomialkoeffizienten ausrechnen. Der Taschenrechner kann das natürlich aber ich bräuchte dafür auch einen Rechenweg, damit ich es quasi auch im Kopf rechnen könnte.

\sum_{k=1}^7 7 über k

Gibt es da irgendwie einen Kniff damit ich nicht hier jede einzelne Zahl einsetzen muss?

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
w
wombombe,
Student, Punkte: 10
 

Dein Code ist nicht richtig. Du meinst wohl:

$$\sum_{k=1}^{7}\binom{7}{k}$$

Richtig?
  -   jake2042, verified kommentiert vor 4 Monate
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1 Antwort
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Es gilt $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n. $$ Folglich gilt für Deine Aufgabe: $$ \sum_{k=1}^7 \binom{7}{k} = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} - \sum_{k=0}^0 \binom{7}{k} = 2^7 - 2^0 = 128 - 1 = 127.$$

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
d
dreszig, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 640
 

*127   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Wie soll \( 2^7 \) ungerade sein, oder was meinst Du?   -   dreszig, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Die 127 ist ja richtig, da die Grenzen ja 1 und 7 sind, da gabs einen kleinen Fehler, Doch wenn ich \sum_{k=3}^15 15 über k ist das 32647, doch wie ist der Rechenweg   -   wombombe, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Ups, ich meinte gelesen zu haben, dass 0 die untere Grenze sei. Sorry! In Deinem neuen Fall gilt analog zur korrigierten Fassung oben:
\( \sum_{k=3}^{15} \binom{15}{k} = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} = 32768 - 4 = 32764 \).
  -   dreszig, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Kurze Frage, wahrscheinlich steh ich auf dem Schlauch, aber woher bekomm ich denn die 2 der zweiten Summe dann   -   wombombe, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Wenn Du von \(\displaystyle 0\) bis \(\displaystyle 15\) aufsummierst und Du ziehst die ersten zwei Glieder wieder ab, so zählst Du quasi nur von \(\displaystyle 3\) bis \(\displaystyle 15\) …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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