Ringe, Ringstruktur, Neutralelement


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Hallo,

wir haben eine neue Thematik an der Uni und es fällt mir ziemlich schwer, die Aufgaben zu lösen.

Zeigen Sie: Ist R ein Ring, und bezeichnet F: = R hoch M die Menge aller Abbildungen einer nichtleeren Menge M in R, so erhalten wir auf F durch die Definitionen (f +F g)(x) := f(x) + g(x) sowie (f xF g)(x) = f(x) x g(x) (xEM) eine Ringstruktur. Geben Sie hierzu das Neutralelement der Addition "+F" an und charakterisieren Sie sie Inversenbildung bzgl. dieser Addition. Ist R kommutativ, so auch der resultierende Ring.

Meine Überlegung dabei ist, dass die gegebenen Definitionen auf die Distributivgesetze hinweisen und da wir bei der zweiten Definition eine Multiplikation haben, geht es um einen kommutativen Ring so auch der resultierende Ring.

Ich verstehe nicht ganz, wo ich genau das Neutralelemt der Addition angeben soll. 

Kann man auch bei einer Inversenbildung R hoch -1 schreiben? WIe kann ich dann vorwärts kommen?

Danke für jeden Hinweis.

LG

Eva

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
e
evatsigkana,
Student, Punkte: 50
 
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1 Antwort
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Hallo,

für das neutrale Element gilt

\( a+ e = e +a = a \) 

mit \( e \) dem neutralen Element\( \forall a \in F \).

Überlege dir mal welches Element beispielsweise in dem Ring der ganzen Zahlen das neutrale Element bzgl. der Addition ist. 
Du kannst dir hier eine ähnliche Abbildung basteln. 

Die Inversenbildung, würde ich mir auch wieder in den ganzen Zahlen überlegen. Wie ist das additiv Inverse der ganzen Zahlen?

Das du dir die Abbildungen basteln kannst auf die wir später kommen, ist es erforderlich das R ein Ring ist. Warum?

Sollst du nur diese beiden Sachen zeigen?

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Kann das 0 das neutrale Element sein? Es ändert sich nichts bei der Addition, d.h. 0 + e = e + 0 = 0 ?

Was bedeutet additiv Inverse? Sorry das verstehe ich nicht ganz. Inverse ist etwas umgekehrtes oder ?

Es wird nach einer Ringstruktur gefragt, weil wir dort die DIstributivgesetze haben, ist es so?

Diese Aufgabe wird viel Zeit in Anspruch nehmen :)

Viele Grüße
Eva
  -   evatsigkana, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Genau in dem Ring der ganzen Zahlen wäre die Null das neutrale Element der Addition. Da aber \( e \) das neutrale Element ist, gilt
\( 0+a = a+0 = a \)
Deshalb nennt man es auch neutral, da es in Bezug auf die Verknüpfung (hier + ) das Element unverändert lässt. Bei der Multiplikation wäre das die Eins
\( 1 \cdot a = a \cdot 1 = a \)

Invers bedeutet nun, das durch die Verknüfpung mit dem Inversen Element das neutrale Element der Verknüpfung ergibt
\( a + (-a) = 0 \)
In den ganzen Zahlen gäbe es kein multiplikatives Inverses außer für die Eins, da
\( 1 \cdot 1 = 1 \) , aber \( a \cdot \frac 1 a = 1 \). und \( \frac 1 a \) ist außer für \( a=1 \) keine ganze Zahl.

Um es zusammenzufassen, das additive Inverse zu \( a \) ist \( -a \) und das multiplikative Inverse ist \( \frac 1 a = a^{-1} \)

So nun wieder zurück zu deiner Aufgabe.
\( F:= R^M \) steht für die Menge aller Abbildungen von \( M \) nach \( R \), also
\( F:=\{ f(x) \in F \vert f: M \to R \} \)
Nun hast du ja schon richtig gesagt, das die Null das neutrale Element der Addition ist. Da \( R \) bereits ein Ring ist, besitzt R auch ein neutrales Element, bzgl der Addition. Also können wir eine Abbildung basteln, die alle Elemente aus \( M \) auf das neutrale Element von \( R \) abbilden. Nennen wir diese Abbildung \( e(x) \). Dann gilt
\( f(x) + e(x) = f(x) \), da \( f(x) \in R \) und \( e(x) \) in \( R \) und \( e(x) \) das neutrale Element in \( R \) ist.

Die Inversenbildung bzgl der Addition läuft relativ analog. Probier dich mal. DIe Kommutativität machen wir danach :)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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