Vollständige Induktion bei einer Ungleichung mit n ∈ N & x ∈ R


1

Bei der Vorbereitung auf meine Mathe Klausur bin ich auf folgende Frage gestoßen:

(1 + x)^n ≥ 1 + nx           für alle ¨ n ∈ N, x ∈ R, x ≥ −1.

Was ich bisher habe:

Induktionsanfang: Sei n=1: (1+x)^1  ≥ 1+1x  == 1+x ≥ 1+x      ✔ wahre Aussage

Induktionsvorraussetzung: Für ein beliebiges aber festes n ∈ N (n ≥ 1) gelte:  1 + x^n ≥ 1 + nx

Induktionsbehauptung: Dann gilt auch 1 + x^(n+1) ≥ 1 + (n+1)*x

Beim Induktionsschritt weiß ich nun aber nicht weiter, was wird nun gefordert?

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
m
miratro1337,
Punkte: 20
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
3

Hallo Miratro!

Das ist die Ungleichung von Bernoulli, die du hier beweisen sollst :) Dein bisheriger Beweis sieht bereits recht passabel aus! ;) 

Beim Induktionsschritt musst du nun von 

\((1+x)^{n+1}\)

unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung darauf schließen, dass dieser Ausdruck größer als oder gleich

\(1+(n+1)\cdot x\) ist.

Wende zuerst das Potenzgesetz \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\) auf \((1+x)^{n+1}\) an:

\(=(1+x)\cdot (1+x)^n\)

Nach der Induktionsvoraussezung ist \((1+x)^n\geq 1+n\cdot x\). Daraus folgt:

\(\geq (1+x)\cdot(1+n\cdot x)\)

\(= 1+nx+x+nx^2\)

\(\geq 1+nx+x\)

\(= 1+(n+1)\cdot x\)

Hilft dir das weiter?

Beste Grüße
André

geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
andré dalwigk, verified
Student, Punkte: 4206
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden