Isomorphie, Antisymmetrie, reflexive Relationen


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Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe und meine Frage ist, ob ich einen oder mehrere Kreise zeichnen sollte.

Geben Sie sechs nicht-isomorphe, antisymmetrische und (zugleich) reflexive Relationen auf einer vierelementigen Menge an. Geben SIe jeweils an, ob de Relationen transitiv sind.

DANKE schön!

Beste Grüße

Eva

 

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
e
evatsigkana,
Student, Punkte: 50
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich bin mir nicht ganz sicher warum du Kreise zeichnen willst. 

Wir haben eine vierelementrige Menge

\( M:= \{ a,b,c,d \} \)

Eine Relation ist in erster Linie nichts weiteres als eine Teilmenge des kartesischen Produktes.

\(R \subset  M \times M := \{ (a,a) , (a,b) , (a,c) , (a,d) , (b,a) , (b,b) , \ldots , (d,a),(d,b),(d,c),(d,d) \} \)

Dr_Lars hat dir bei einer anderen Frage erklärt was mit Isomorphie gemeint ist. Ist dir das klar geworden?

Nun heißt antisymmetrie

\( \forall x,y \in M , (x,y) \in R \land (y,x) \in R \Rightarrow x=y \)

und Reflexivität

\( \forall x \in M , (x,x) \in R \)

Nun bastelst du dir 6 Teilmengen aus \( M \times M \) die die beiden obigen Eigenschaften erfüllen und überprüfst sie anschließend auf Transitivität

\( \forall x,y,z \in M , (x,y) \in R \land (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R \)

Grüße Christian 

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hallo Christian,

vielen DANK zunächst für deine Mühen. Ich bin leder gar nicht auf diese Idee gekommen.

Sind die Paare (a,a), (b,b), (c,c), (d,d) richtig?

Dr_Lars hat alles wunderbar erklärt, nur ich brauche leider immer etwas Zeit.

Beste Grüße
Eva
  -   evatsigkana, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Mit Teilmenge sind nicht einzelne Paare gemeint, sondern Mengen die bestimmte Paare enthalten. Ich bastel dir mal eine vor dann kannst du es weiter versuchen. Aber ich denke du bist dem ganzen auf der Spur.

Zuerst weil es leichter ist zur Reflexivität. Das bedeutet soviel wie, das alle Elemente zu sich selbst in Relation stehen. Also sind deine Paare nicht ganz falsch, sie müssen alle in jeder der Teilmengen enthalten sein. Wir erhalten also schon mal für jede Relation die reflexiv ist
\( (a,a) , (b,b) , (c,c) ,(d,d) \in R \)

Nun zur Antisymmetrie. Man kann es sich hier relativ leicht machen. Da wir die Grundmenge \( M := \{ a,b,c,d \} \) genommen haben, und die Elemente darin nicht gleich sind, also \( a \neq b \) und \( b \neq c \) usw. packen wir in unsere Relationen immer nur eine der beiden Relation \( (x,y) \) oder \( (y,x) \). Damit ist die Antisymmetrie immer erfüllt.

Nun zusammengefasst, stelle ich mal eine Relation auf (vermutlich die, an die du bei der Antwort gedacht hast)

\( R_1 := \{(a,a) , (b,b) , (c,c) , (d,d)\} \)

Ich will doch nochmal eine zusätzliche aufstellen, für eine Verständnisfrage

\( R_2 := \{ (a,a) , (b,b) , (c,c) , ( d,d) , (a,b) \} \)

Warum ist diese Relation isomorph zu

\( R_3 := \{ (a,a) , (b,b) , (c,c) , ( d,d) , (b,a) \} \)

Ist dir klar warum alle 3 Relationen reflexiv und antisymmetrisch sind? Sind diese Relationen auch transitiv?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Ich verstehe nicht, warum die R2 isomorph zu R3 ist.. Das Ganze mit den Morphismen habe ich nicht wirklich verstanden bzw. wie wir finden, dass die Relationen Isomorph oder Epimorph usw sind.
Ich würde sagen, dass alle drei sicher(!) reflexiv sind. Ein weiteres Problemchen habe ich mit der Antisymmetrie, obwohl ich mit die Definition 100mal angeschaut habe und dachte, dass ich das Prinzip verstanden habe. Ob sie transitiv sind? Ich würde sagen, nein, weil wir Paare wie (a,c) haben sollten, oder liege ich total daneben?
Was ist aus meiner Frage wg Privatunterricht geworden?
Vielen vielen Dank und beste Grüße aus München
Eva
  -   evatsigkana, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Ok gehen wir es durch :).
Zwei Strukturen sind isomorph zueinander, wenn es einen Isomorphismus zwischen diesen Strukturen gibt. Was ist nun genau ein Isomorphismus? Ein Homomorphismus ist eine Abbildung, durch die die Struktur erhalten bleibt. Das klingt erstmal noch sehr abstrakt aber gucken wir uns das erstmal weiter an.
Ein Isomorphismus ist nun ein bijektiver (eindeutig umkehrbarer) Homomorphismus.

Nun versuchen wir das ganze mal auf unser Problem zu übertragen, Unserer Struktur um die es hier geht ist genau unsere Relation. Jetzt steht in \( R_2 \) a in Relation zu b. Wenn wir jetzt unsere Abbildung \( \varphi \) (wir gehen später darauf ein wie diese Abbildung aussieht) auf a und b anwenden und beispielsweise \( \varphi(a) = b \) und \( \varphi(b) = a \) erhalten, so muss nun weil unsere Struktur (Relation) erhalten bleibt \( (\varphi(a),\varphi(b)) = (b,a) \) gelten. Weiter gilt \( (a,a) \Rightarrow (\varphi(a),\varphi(a)) = (b,b) \) (das selbe analog für b ). \( \varphi \) erhält also auf jeden Fall die Transitivität.
Zusammengefasst gilt \( \varphi: (M, R_2) \to (M, R_3) \).
Jetzt müssen wir nur noch zeigen wie so ein Isomorphismus aussieht, damit er das macht was ich oben geschrieben habe.
Wir können folgende Abbildung nutzen \( \varphi(a) = b , \ \varphi(b) = c , \ \varphi(c) = d , \) und \( \varphi(d) = a \). Wir bilden also jedes Element auf das nächste ab. Das ganze nennt man eine Permutation.
Diese Abbildung ist natürlich bijektiv, da wir eindeutig durch die Abbildung jedes Element auf das davor abzubilden \( \varphi \) umkehren können.
Das führt uns dazu das \( R_2 \cong R_3 \)

Man kann auch noch versuchen einen anderen Zugang zu isomorphen Strukturen zu erhalten. Isomorphie ist nämlich eine Äquivalenzrelation. Wir drücken also eine gewisse Gleichwertigkeit aus, Nun ist in unserer Menge \( M \) ja kein Element ausgezeichnet. Es gibt kein erstes, da in Mengen keine Reihenfolge existiert (wir schreiben es nur der Anschauung wegen meist in einer bestimmten Reihenfolge) und kein letztes.
Deshalb wenn wir nicht sagen a steht in Relation zu b, sondern das erste Element der Menge steht in Relation zum zweiten, hat das immer eine andere Bedeutung je nachdem wie unsere Menge "geordnet" ist.

Nun versuchen wir mal die Antisymmetrie zu knacken. Am besten gucken wir uns das an zwei Beispielen an.
Antisymmetrisch: Wir nehmen die Menge der reellen Zahlen und die Relation \( \leq \). Wenn wir nun eine Zahl nehmen die größer gleich 2 ist, aber auch kleiner gleich 2 ist muss diese Zahl logischerweise die 2 sein. Oder mathematisch geschrieben
Wenn \( (2,a) \in \leq \land (a,2) \in \leq \Rightarrow a = 2 \)

Nicht antisymmetrisch: Wir vergleichen die Größe von Häusern in einer Straße (ebenfalls mit der \( \leq \) Relation). Für zwei gleichgroße Häuse bedeutet es das Haus 1 in Relation zu Haus 2 steht, aber auch Haus 2 in Relation zu Haus 1. Allerdings sind Haus 1 und 2 nicht die gleichen Häuser, also kann die Relation nicht Antisymmetrisch sein.

Nun glaube ich das wir hier aber noch etwas klären müssen. Erstmal ein kleiner Exkurs
Die Mathematik basiert auf der Logik und der Natur der Zahlen. In der Logik gibt es bestimmte Prinzipien. Eines dieser Prinzipien besagt, das aus einer falschen Aussage beliebiges folgt.
Was bedeutet das?
Gucken wir uns die Antisymmetrie an.
\( \forall x,y \in M : (x,y) \in R \land (y,x) \in R \Rightarrow x=y \)
Wenn wir in unserer Relation nicht diese beiden Paare haben, sondern nur eins der Paare, dann ist für diese Relation sofort die Aussage \( \forall x,y \in M : (x,y) \in R \land (y,x) \in R \) falsch.
Das bedeutet nun aber nicht das die Menge nicht Antisymmetrisch, ganz im Gegenteil. Da die erste Aussage falsch ist können wir die Implikation \( \Rightarrow x=y \) nicht verletzen und erfüllen automatisch die Voraussetzung.

Selbes gilt für die Transitivität. Wenn für \( x,y,z \in M \) niemals die beiden Paare \( (x,y) \land (y,z) \in R \) in der Relation sind sondern immer nur eine bzw keine, dann spricht das nicht gegen die Transitivität. Denn wir können dadurch das diese beiden Paare nicht in der Relation sind die Implikation \( \Rightarrow (x,z) \in R \) nicht verletzen.

Konnte ich alle Fragen klären? Nimm dir auf jeden Fall die Zeit das ganze durch zu arbeiten, ist jetzt sehr viel auf einmal,
Als kleine Nebenaufgabe, finde mal noch 2 Relationen die isomorph zu \( R_2 \) sind.
Und wenn es klappt noch 4 weitere nicht isomorphe Relationen.

Ich würde sagen schreib mir mal eine Email an Stracki93@gmail.com dann besprechen wir das weiter :)

Viele grüße aus Wuppertal :p
Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Mir fällt gerade auf das ich in der Erklärung wie so ein Isomorphismus aussehen kann ausversehen eine andere Permutation beschrieben haben. Die Permutation die wir hier haben, wäre beispielsweise \( \varphi(a) = b , \ \varphi(b) = a , \ \varphi(c)=d \) und \( \varphi(d) = c \).
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche
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