Vollständige Induktion für n-te Ableitung


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Wie lautet die \(n\)-te Ableitung der Funktion \(f(x)=m^{2\cdot x+1}+m\) mit \(m\in\mathbb{R}_{>0}\)?

Beweise Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion über \(n\in\mathbb{N}\).

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
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Hallo!

Zunächst musst du die \(n-\)te Ableitung deiner Funktion bestimmen:

\(f'(x)=2\cdot \ln(m)\cdot m^{2x+1}=2^1\cdot\ln(m)^1\cdot m^{2x+1}\)

\(f''(x)=2\cdot 2\cdot \ln(m)\cdot \ln(m)\cdot m^{2x+1}=2^2\cdot \ln(m)^2\cdot m^{2x+1}\)

\(f'''(x)=2\cdot 2\cdot \cdot 2 \ln(m)\cdot \ln(m)\cdot \ln(m)\cdot m^{2x+1}=2^3\cdot \ln(m)^3\cdot m^{2x+1}\)

Die Vermutung liegt nahe, dass die \(n-)te Ableitung wie folgt aussieht:

\(f^{(n)}(x)=2^n\cdot \ln(m)^n\cdot m^{2x+1}\)

Das liegt daran, dass sich mit jeder weiteren Ableitung nur die Exponenten der Faktoren \(2\) und \(m\) verändern.

So funktioniert der Beweis:

Induktionsanfang \(\mathcal{A}(n_0)\):

Da die Behauptung für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden soll, wird \(n_0=1\) als Startwert gewählt. Zuerst wird die erste Ableitung der Funktion \(f(x)\) berechnet, denn \(f^{(n_0)}(x)=f^{(1)}(x)=f'(x)\). Das hast du ja bereits beim Finden der allgemeinen Ableitungsformel getan:

\(f'(x)=2\cdot \ln(m)\cdot m^{2x+1}\)

Nun setzt du den Startwert \(n_0=1\) in die allgemeine Ableitungsformel \(f^{(n)}(x)\) ein und prüft, ob die zuvor berechnete erste Ableitung herauskommt. Wenn das der Fall ist, hast du den Induktionsanfang gezeigt. $$f^{(n_0)}(x)=2^{n_0}\cdot \ln(m)^{n_0}\cdot m^{2x+1} = 2^1\cdot \ln(m)^1\cdot m^{2x+1}=2\cdot \ln(m)\cdot m^{2x+1}=f'(x)\checkmark $$

Induktionsvoraussetzung \(\mathcal{A}(n)\): $$\exists n\in\mathbb{N}:f(x)=m^{2x+1}+m\Longrightarrow f^{(n)}(x)=2^n\cdot \ln(m)^n\cdot m^{2x+1}$$

Induktionsbehauptung \(\mathcal{A}(n+1)\): $$\Longrightarrow f^{(n+1)}(x)=2^{n+1}\cdot \ln(m)^{n+1}\cdot m^{2x+1}$$

Induktionsschritt \(\mathcal{A}(n)\Longrightarrow\mathcal{A}(n+1)\):

Die \((n+1)\)-te Ableitung der Funktion \(f(x)\) ist die erste Ableitung der \(n\)-ten Ableitung, d. h. \(f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)'\). Nach der Induktionsvoraussetzung ist $$f^{(n)}(x)=2^n\cdot \ln(m)^n\cdot m^{2x+1}$$. Um die Induktionsbehauptung zu zeigen, musst du also \(f^{(n)}(x)\) einmal ableiten und den entstandenen Ausdruck so lange umformen, bis die rechte Seite der Funktionsgleichung\(f^{(n+1)}(x)=2^{n+1}\cdot \ln(m)^{n+1}\cdot m^{2x+1}\) herauskommt.

Leite also mit der Kettenregel die \(n-\)te Ableitung einmal ab:

\(f^{(n+1)}(x)=2\cdot \ln(m)\cdot 2^{n}\cdot \ln(m)^{n}\cdot m^{2x+1}\)

Wende auf \(2\cdot 2^n\) und \(\ln(m)\cdot \ln(m)^n\) das Potenzgesetz \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) an:

\(=2^{n+1}\cdot \ln(m)^{n+1}\cdot m^{2x+1}\) \(\square\)

Beste Grüße
André

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
andré dalwigk, verified
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Die n-te Ableitung wird vermutlich \(\dfrac{\textrm{d}^nf}{\textrm{d}x^n}=2^n\cdot m^{2x+1}\cdot \ln^n(m)\) lauten.

Das müsstest du jetzt noch zeigen.

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
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