Wie soll man so ein LGS lösen? Aufgabe: Man soll das LGS zuerst auf die üblich Form bringen und danach die Lösungsmenge bestimmen


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gefragt vor 3 Monate, 1 Woche
s
siyan,
Schüler, Punkte: 25
 
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1 Antwort
3

Halllo siyan,

zuerst musst du die Gleichungen ausmultiplizieren und wie folgt anordnen:

\(-x_1-x_2+3x_3+3x_4=0\)

\(-2x_1+2x_2+2x_3-2x_4=0\)

\(2x_1+2x_2-4x_3-4x_4=0\)

\(5x_1-2x_2-2x_3-3x_4=0\)

Dieses LGS kannst du auch in der Form \(Ax=b\) schreiben:

\(\left(\begin{matrix}-1&-1&3&3\\-2&2&2&-2\\2&2&-4&-4\\5&-2&-2&-3\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right)\)

Dieses Gleichungssystem kannst du nun mit dem Gauß-Algorithmus lösen (siehe Anhang).

Hilft dir das weiter?

Beste Grüße
André

geantwortet vor 3 Monate, 1 Woche
andré dalwigk, verified
Student, Punkte: 4211
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Hi André,
wenn man das jetzt lösen würde kommt da jetzt nicht bei jedem x 0 raus?

Mfg
Siyan
  -   siyan, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Hi siyan,

ja, da kommt überall \(0\) als eine Lösung heraus. Die Koeffiizientenmatrix ist invertierbar (weil ihre Determinante 0 ist, siehe unten), weshalb das LGS eindeutig lösbar ist..
$$ A = \left(\begin{matrix}-1&-1&3&3\\-2&2&2&-2\\2&2&-4&-4\\5&-2&-2&-3\end{matrix}\right) \\
\det(A) = \left|\begin{matrix}-1&-1&3&3\\-2&2&2&-2\\2&2&-4&-4\\5&-2&-2&-3\end{matrix}\right| \\
= (-1)·\left|\begin{matrix}2&2&-2\\2&-4&-4\\-2&-2&-3\end{matrix}\right| + 1·\left|\begin{matrix}-2&2&-2\\2&-4&-4\\5&-2&-3\end{matrix}\right| + 3·\left|\begin{matrix}-2&2&-2\\2&2&-4\\5&-2&-3\end{matrix}\right| + (-3)·\left|\begin{matrix}-2&2&2\\2&2&-4\\5&-2&-2\end{matrix}\right| \\
= 2·\underbrace{\left|\begin{matrix}-4&-4\\-2&-3\end{matrix}\right|}_{=4} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\-2&-3\end{matrix}\right|}_{=-14} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\-2&-2\end{matrix}\right|}_{=-12} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}-4&-4\\-2&-3\end{matrix}\right|}_{=4} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\5&-3\end{matrix}\right|}_{=14} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\5&-2\end{matrix}\right|}_{=16} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\-2&-3\end{matrix}\right|}_{=-14} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\5&-3\end{matrix}\right|}_{=14} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&2\\5&-2\end{matrix}\right|}_{=-14} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\-2&-2\end{matrix}\right|}_{=-12} + (-2)·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&-4\\5&-2\end{matrix}\right|}_{=16} + 2·\underbrace{\left|\begin{matrix}2&2\\5&-2\end{matrix}\right|}_{=-14} \\
= 64 $$
  -   andré dalwigk, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Sehr schöne und ausführliche Antwort … Upvote! Aber eine Frage: Wieso sind manche Mitglieder verifiziert und andere wiederum nicht?   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Ich hab es jetzt verstanden aber nicht genau wie man das berechnet gibt es dazu ein Video oder so? Wäre sehr hilfreich   -   siyan, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

@siyan Klar, dazu gibt es ein Video:
https://www.youtube.com/watch?v=AnezNBuRkEY
Die Videos zum Gauß-Algorithmus habe ich dir in der Antwort bereits verlinkt ;)
  -   andré dalwigk, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

@einmalmathe Wir wollen sicherstellen, dass hier keine Bots unterwegs sind, sondern "echte" User. Da wir zeitnah Algorithmen zur Optimierung eurer Learning Experience entwickeln wollen, müssen wir sicherstellen, dass unsere Analysen auf "echten" Daten beruhen. Wenn du auch verifiziert werden möchtest, dann schau mal hier: https://fragen.letsrockmathe.de/news/453d580625a6a1ea/verifizierung/   -   andré dalwigk, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Dankeschön :)   -   siyan, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche
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