Ableiten verketteter Funktionen


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Hallo ihr Lieben, 

ich habe hier drei Funktionen vorliegen, die ich ableiten muss, eine davon ist simpel, eine zweite verstehe ich zu zirka drei vierteln und die dritte verstehe ich fast gar nicht. Vielleicht könnt ihr mir auf die Sprüunge helfen.

 

a)

f(x) = ln(x^2-x-4)
Bei ln - beziehungsweise allen Arten von log - gilt ja: f'(x) = g'(x)/g(x), bzw. 1/g(x)*g'(x)
Dementsprechend habe ich da raus:
f'(x) = (2x-1)/(x^2-x-4)

Ich nehme jetzt mal frech an, dass das richtig ist.


b) 

f(x) = e^(lnx+3)
      = e^3 d/dx x
f'(x)= e^3 *1

Habe ich soweit auch raus. Allerdings habe ich dafür viel rumprobiert und habe irgendwie nicht so den richtigen Schimmer, wie ich darauf gekommen bin, beziehungsweise, was der richtige Gedanke dazu war. Verändert man den Term ein wenig, kommt auf einmal was anderes raus, das mich irritiert.

Nämlich:
f(x) = e^(lnx3)
f'(x)= x^3 

Wieso ist dem so? Welche Regel habe ich da angewandt, die ich jetzt nicht klar benennen kann?

 

c)
f(x) = sin[Wurzel(2x)]
Da kommt ja schon einmal die Kettenregel zum Einsatz. Sprich:
f'(x)= g'(x)*h'(x)
g'(x) = cos[Wurzel(2x)]
Und da kommen wir zum Problem, h'(x) erscheint mir so rätselhaft, dass ich im Moment noch den Eindruck habe, dass das bei dem Ding gefunden wurde, das angeblich bei Roswell abgestürzt sein soll.
[Wurzel(2x)] ist ja nichts anderes als [Wurzel(2)]*[Wurzel(x)].
Die würde ich dann umformen zu:
2^(1/2)*x^(1/2)
Das dann ableiten:
[1/2*]2^(-1/2)*[1/2*x(-1/2)]
Und hier geht bei mir gar nichts mehr. Laut Aufzeichnungen einer Kommilitonin soll da auch was anderes bei raus kommen, nämlich:
1/2*2*2x^(-1/2)
Sprich:
2x^(-1/2) oder: 1/[Wurzel(2x)]

Aber: Wie komme ich denn dahin? Was übersehe ich?

 

Ich möchte euch hier schon einmal für eure Hilfe danken! :)

 

gefragt vor 3 Monate, 1 Woche
e
einäfräge,
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3 Antworten
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Die Ableitung der ersten Funktion stimmt.

\(\left [\ln f(x) \right ] ' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\)


Ansonsten gilt mit der Kettenregel allgemein \(\left [ f(g(x))\right ] ' = f'(g(x))\cdot g'(x)\).

Bei \(e^{\ln(x)+3}\) wäre die äußere Funktion \(f(x) = e^x\) und die innere \(g(x)=\ln (x)+3\). Somit ergibt sich mithilfe der Kettenregel \(e^{\ln(x)+3}\cdot \left [\ln(x)+3\right]' = e^{\ln(x)+3}\cdot \dfrac{1}{x} = e^3\)

Für die e-Funktion kann man sich auch merken, die Ableitung ist einfach die Ausgangsfunktion multipliziert mit der Ableitung des Exponenten.


c) Auch hier wenden wir die Kettenregel an. Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus. Folglich gilt für die Ableitung dieser Funktion, \(f'(x)=\cos(\sqrt{2x}) \cdot \left [ \sqrt{2x}\right]' = \cos(\sqrt{2x}) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x}}=\dfrac{\cos(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}\)

geantwortet vor 3 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
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für die b) kannst du auch f(x) mit Logarithmus Gesetzen umformen. f(x)=e^[ln(x)+3]=e^ln(x)*e^3=x*e^3

und das abgeleitet ergibt natürlich e^3

 

 

p.s. wie kriegt ihr das mit den Formeln eigentlich so schön hin?

geantwortet vor 3 Monate, 1 Woche
b
blitzableiter,
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LaTeX   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche
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Danke euch für die schnellen Antworten!

Zu der c) bleibt noch eine Frage offen. 
Wieso wird denn aus der Ableitung von \(\sqrt{2x}\) dann \( \frac {1} {(\sqrt{2x}}\)? Da komme ich ja gar nicht erst hin. Da bin ich auf einem völlig anderem Dampfer.


geantwortet vor 3 Monate, 1 Woche
e
einäfräge,
Student, Punkte: 20
 

\(\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Mit der Kettenregel erhälst Du (also einfach das ganze noch mit der inneren Ableitung multiplizieren): \(\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Entweder über die Potenzregel: \(\sqrt{2x}=(2x)^{1/2}\) oder man weiß, dass \([\sqrt{x}]' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow \left [\sqrt{f(x)}\right ]' = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\) ist.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche
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