Kurvenintegral 2. Art und Variation einer Funktion berechnen.


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Moin, hat jemand einen Ansatz für diese 2 Aufgaben? ich komme nicht so wirklich weiter.

Danke schoneinmal im Voraus.

MfG Chrispy

 

 

gefragt vor 3 Monate
c
chrispy,
Punkte: 96
 

Für das Wegintegral: Du setzt einfach für alle \(\displaystyle x\) bzw. \(\displaystyle y\) Komponenten die entsprechende Komponente der Parametrisierung ein und multiplizierst dann mit der Ableitung der korrespondierenden Komponenten der Parametrisierung (also im ersten Fall die erste Komponente etc.) und integrierst hierbei über \(\displaystyle [-1,0] \cup (0,1]\), da bei \(\displaystyle t = 0\) eine Nullstelle vorliegt.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate

Hallo, erst einmal danke für die schnelle Antwort, aber wieso ist es denn relevant, dass bei 0 eine Nullstelle vorliegt?   -   chrispy, kommentiert vor 3 Monate


Also würde ich folgendes Integral berechnen?: \(\int_{-1}^1 (-(t^2+2t)-(-t^2+t))*(2t+2)+(t^2+2t-t^2+t)*(-2t+1) dt\)
  -   chrispy, kommentiert vor 3 Monate

Ja, genau! Nun ja, berechne doch mal das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos(x)\,\mathrm{d}x\). Es würde \(\displaystyle 0\) rauskommen, was aber offenkundig falsch ist – Du kannst ja noch ein paar Beispiele durchrechnen. Und wie schon gesagt, einfach dann das Integral ganz stupide berechnen und Du bist fertig!   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate

Ach klar, also ist hier nicht der tatsächliche Wert des Integrals gefragt sondern die Fläche unter der Kurve des Integranden den ich geschrieben habe?   -   chrispy, kommentiert vor 3 Monate


Ich gehe mal davon aus … Wobei ich eher sogar auf den tatsächlich Wert tippen würde, zwecks geschlossener Weg usw., denn dann ist das Integral über den Weg identisch mit \(\displaystyle 0\). Hm, wie habt ihr es denn besprochen?
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate

Ich bin mir nicht sicher, aber nach einigem nachdenken ist es nur logisch, wenn man den Tatsächlichen Wert des Integrals berechnet. Danke für die Hilfe!   -   chrispy, kommentiert vor 3 Monate
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1 Antwort
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Hallo,

ich muss zugeben ich hatte die Variation bis jetzt selbst noch nicht in der Uni, habe mich aber mal etwas belesen. Ich hoffe ich bin auf die richtige Variation gestoßen, aber ich habe folgende Formel gefunden.

\( \vert f \vert_{[a,b]} := \sup \left\{ \left. \sum_{k=0}^{n-1} \vert f(t_{k+1}^{(n)})- f(t_k^{(n)}) \vert \right| n \in \mathbb{N} , a \leq t_0^{(n)} \leq t_1^{(n)} \leq \ldots \leq t_n^{(n)} \leq b \right\} \)

Nun nehmen wir die Formel mal auseinander. Die Varianz ist das Supremum der Summe über die Differenzen bestimmter "Stütztstellen" \( ( f(t_k^{(n)} )) \). 

Dazu soll die Funktion durch eine Folge \( t_k^{(n)}\) unterteilt werden. Dabei ist die Folge abhängig von \( k \) und \( n \) sagt, wie fein wir das Intervall unterteilen (also wie viele Stützstellen wir basteln).

Um deine Aufgabe zu lösen brauchst du nun so eine Folge die das Intervall \( [-5,5] \) durchläuft. Diese setzt du dann in 

\( \sum_{k=0}^{n-1} \vert f(t_{k+1}^{(n)})- f(t_k^{(n)}) \vert \)

ein. Dann musst du diese Reihe auf Konvergenz überprüfen. Divergiert die Reihe, so hat die Funktion unendliche Varianz. Wenn sie konvergiert, dann in Abhängigkeit von \( n \) und wir können das Supremum all dieser Grenzwerte bestimmen. 
Dieser ist dann die Varianz.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Danke für die Antwort, aber ich bin zum Schluss gekommen, dass es, vor allem bei so einfachen Funktionen wie dieser, reicht die Funktion in Intervalle zu unterteilen in denen sie monoton fallend, bzw steigend ist und dann die Differenz der Funktionswerte an den Randpunkten besagter Intervalle aufzusummieren, da auf monoton Fallenden, bzw steigenden Intervallen, die Summe der Zerlegungen unabhängig von der Zerlegung selber ist.
MfG Chrispy
  -   chrispy, kommentiert vor 3 Monate

Das ist gut möglich. Solch einen Satz hatte ich auch auf Wikipedia gesehen, war mir aber nicht sicher ob alle Intervalle die gleiche Monotonie aufweisen müssen oder ob es egal ist ob die einzlenen Intervalle fallend oder steigend sind. Aber freut mich das es geklappt hat.
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Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate
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