Kern


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hi!

für meine Prüfung soll ich wissen, welche algebraische Struktur der Kern eines Gruppenhomomorphismus hat mit Begründung.

Kann mir jmd. bitte dabei helfen?

 

gefragt vor 3 Monate, 1 Woche
m
malro10,
Student, Punkte: 118
 
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1 Antwort
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Hallo,

im Kern befinden sich alle Elemente, die durch eine Abbildung auf das neutrale Element abgebildet werden.

Nun haben wir einen Gruppenhomomorphismus \( \varphi : (G, \cdot) \to (H, * ) \), das bedeutet mit \(g \in G\)

\( \varphi(g_1 \cdot g_2) = \varphi(g_1) * \varphi(g_2) \)

Im Kern befinden alle Elemente für die gilt \( \varphi(g) = e_H \). 

Als letztes noch zu algebraischen Strukturen. Eine algebraische Struktur ist in erster Linie die Kombination einer Menge und einer Verknüpfung (bzw. einer Familie von Verknüpfungen) wie beispielsweise eine Gruppe. 

Jetzt überlege dir folgendes. Besitzt der Kern Elemente aus \( G \) oder aus \( H \)? Damit aus dem Kern eine algebraische Struktur wird, benötigen wir noch eine Verknüpfung. Welche wird übernommen vom Kern?
Ist der Kern mit dieser Verknüpfung noch eine Gruppe oder eine andere kennengelernte Struktur (Ring, Monoid, Halbgruppe, etc)?

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 
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