Simple Frage zur Umkehrfunktion und eines Urbildes


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Gegeben ist folgendes Beispiel:

f: R->R, x->x^2

Wir sollen das Bild und Urbild mit dem Intervall ]-1,2] bestimmen. Das Bild ist relativ klar

f(]-1,2]) = (]-1,2])^2 = [0,4]

Beim Urbild bin bin ich etwas verwirrt. Umgeformt wäre f(x)=x^2 ja f^-1(y)=√y

In der Musterlösung steht nun, dass das Intervall das wir rausbekommen [− √ 2, √ 2] ist. Ich kann dies nicht ganz folgern. Mir ist bewusst dass wir das Intervall von ]-1,2] auf [0,2] beschränken können, weil wir keine Wurzel von der negativen Zahl ziehen. Aber auch mit dem neuen Intervall erschließt sich mir nicht, warum "[− √ 2" in dem Intervall ist... 

 

 

gefragt vor 3 Monate
m
miratro1337,
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2 Antworten
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Hallo,

\( f^{-1}([-1 ,2 ]) \) soll bestimmt werden. Nun gibt es kein Element aus den reellen Zahlen, das durch \( f(x) = x^2 \) auf das Intervall \( [-1,0) \) abbildet. Also reicht es sich das Intervall \( [0,2] \) anzugucken. 

Das Urbild hat die Definiton

\( f^{-1}(M) := \{ x \in A | f(x) \in M \}\), wobei A unsere Definitonsmenge ist.

Es ist wichtig, das für das Urbild keine Umkehrfunktion gebildet werden muss, da diese nur existiert wenn die Funktion bijektiv ist. Wir können uns hier einfach überlegen, welche Element auf unser gesuchtes Intervall abgebildet werden. 
Wir haben die Funktion \( f(x) = x^2 \). Da wir hier quadrieren, gibt es sowohl negative als auch positive Werte, die auf unser positives Intervall abgebildet werden, denn sowohl \( (-\sqrt{2})^2 = 2 \), als auch \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) bilden auf die \( 2 \) ab. Also sind das schon mal unsere Randpunkte des Intervalls. Alles dazwischen wird auf Elemente zwischen \( 0 \) und \( 2 \) abgebildet. 
So kommen wir also auf \( f^{-1}([-1,2]) = f^{-1}([0,2]) = [-\sqrt{2} , \sqrt{2}] \) 

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate
christian strack, verified
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Vielen lieben dank christian!!

geantwortet vor 3 Monate
m
miratro1337,
Punkte: 20
 

Sehr gerne :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate
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