Bruchungleichung mit Betrag und x^2


3

Ich bereite mich gerade auf meine Matheklausur vor und habe 3 Aufgaben des gleichen Typs, bei denen ich aber Schwierigkeiten habe (da wir solche Beispiele natürlich nicht in der Vorlesung oder Übung hatten...).

Aufgabe1 \(\frac {\vert 3x+1\vert} {x^2+1} \ge 1\)

Aufgabe2 \(\frac {\vert 2x+2\vert} {x^2-1} \ge 1\)

Aufgabe3 \(\frac {\vert 4x+1\vert} {x^2+1} \ge 1\)

Die Aufgaben habe ich auch angefangen zu bearbeiten. Bei den Brüchen mit \(x^2+1\) im Nenner und x aus den reellen Zahlen gibt es ja keine Möglichkeit, in der der Nenner negativ oder gleich 0 wird, bei dem Fall mit -1 schon. Ansonsten habe ich bei dem Betrag die Fälle \(\ge 0\) und < 0, die ich beachten muss. Ich habe dann immer erst mal mit dem Nenner multipliziert und weiß nicht, ob ich dann nochmal - den Nenner machen soll, sodass ich auf einer Seite eine quadratische Funktion habe und auf der anderen 0? Oder denke ich da zu einfach? Und woher weiß ich bei solchen Aufgaben, ob ich ggf. mit einer negativen Zahl multipliziere? Hängt das von den Intervallen ab, in denen sich x befindet?

Ich wäre dankbar, wenn mir jemand weiter helfen kann :)

 

gefragt vor 2 Monate, 1 Woche
v
vf97,
Student, Punkte: 40
 

Wenn eine Parabel \(\displaystyle p(x)\) zwei Nullstellen \(\displaystyle \xi_1\) und \(\displaystyle \xi_2\) besitzt, so gilt: \(\displaystyle \forall x\in(\xi_1,\xi_2): p(x) < 0\). Nun kannst Du mit dieser Überlegung Deine Fragen eigentlich sogar selber beantworten.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Dies gilt nicht für alle, nur für nach oben geöffnete Parabeln.   -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Habe ich nicht dazu geschrieben, weil ich dachte, dass es schon so klar genug sein sollte.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

*Wenn \(\displaystyle \forall x in \mathbb{D}\setminus\{[\xi_1,\xi_2]\}\) mit \(\displaystyle \mathbb{D}\subset\mathbb{R}\), dass \(\displaystyle p(x) > 0\), so gilt dann die Aussage. Falls aber die Ungleichung \(\displaystyle < 0\) erfüllt ist, so ist die Parabel im besagten Intervall \(\displaystyle >0\).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 1 Woche

Ohne das jetzt im einzelnen durchgerechnet zu haben, habe ich eine Vermutung, worauf das hinausläuft. Falls Du bei Deinen Bemühungen, die Ungleichungen nach \(x\) aufzulösen, irgendwann in die Situation kommst, folgendes nach \(x\) auflösen zu müssen:

$$x^{2}+1=0$$

dann solltest Du wissen, dass folgendes gilt:

$$\sqrt{-1}=i$$

Das heißt, Du bist dann gezwungen, mit komplexen Zahlen zu rechnen. Das ist jetzt aber nur so eine Vermutung von mir.

Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 2 Monate
Kommentar schreiben Diese Frage melden
2 Antworten
3

Hallo,

deine Ideen sind soweit richtig. 

Um herauszufinden ob ein Term mit dem du multiplizierst positiv oder negativ ist, oder besser noch um herauszufinden in welchen Intervallen der Term positiv bzw negativ ist, kannst du die Nullstellen berechnen und den Definitionsbereich des Terms durch die Nullstellen in Intervalle einteilen. 
Wenn dir dann noch nicht klar ist in welchen Intervallen der Term positiv bzw. negativ ist nimm ein Element aus dem dem offenen Intervall und setze es ein. 

Am besten probierst du mal die erste zu lösen und postest die Lösung hier rein, dann können wir gucken ob sich noch Unklarheiten auftun. 

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Hallo Christian,

Danke für die Rückmeldung. Ich werde mich die Tage noch mal an die Aufgaben setzen, bin aber aktuell unterwegs :)

Viele Grüße, Vanessa
  -   vf97, kommentiert vor 2 Monate
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
3

 

Hallo Christian,

ich habe mich an die erste Aufgabe gesetzt und bin auf folgendes Intervall als Lösung gekommen [-2, -1] \(\cup\) [0, 3]. Also -2 \(\le\) x \(\le\) -1 und 0 \(\le\) x \(\le\) 3. 

Da \(x \in \mathbb R\) kann man festhalten, dass \(x^2\) immer positiv ist und somit \(x^2 +1\) nicht negativ oder 0 wird und ich keinen Fall habe, in dem sich das \(\ge\) umdreht, da ich mit keiner negativen Zahl multipliziere. Es gibt auch keine Definitionslücke, da der Nenner nicht 0 wird.

Bei dem Betrag habe ich den Fall 3x+1 \(\ge\) 0 (daraus lässt sich folgern, dass x \(\ge \frac {-1}{3}\)) und den Fall 3x+1 < 0 (also x < \(\frac {-1}{3}\)). 

Bei dem Umstellen der Ungleichung komme ich bei Fall 1 auf 0 \(\ge x^2 - 3x\) und da ergibt sich als Intervall [0, 3], da \([ \,\frac {-1}{3}, \infty) \, \cap [ \,0, 3 ] \,\) = [0, 3].

Fall 2 ergibt nach der Umstellung 0 \(\ge x^2 + 3x + 2\) und \(( \,-\infty, \frac {-1}{3}) \, \cap [ \,-2, -1 ] \,\) = [-2, -1].

 

geantwortet vor 2 Monate
v
vf97,
Student, Punkte: 40
 

Hallo,

tut mir Leid die Antwort ist mir irgendwie durchgegangen.
Ja genau alles richtig. Wunderbar. :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate
Kommentar schreiben Diese Antwort melden