Differenzierbarkeit einer Funktion


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Hallo, Die Aufgabe lautet alle Paare reeller Zahlen (a,b) zu finden, sodass die Funktion f(x) = ax wenn x<=0 und f(x)=bx wenn x>0 auf den ganzen reellen Zahlen diff’bar ist. Ich denke hier gilt es nur die Differenzierbarkeit in 0 zu untersuchen, für alle anderen x soll das ja trivial sein. Stimmt das nun, dass die Funktion f immer dann diffbar ist, wenn a=b? Oder habe ich etwas vergessen? Danke schon einmal!

 

gefragt vor 3 Monate
H
anonym,
Punkte: 20
 

Deine Überlegung ist schon mal gar nicht schlecht. Hast du denn auch eine Erklärung dafür, dass b=a gelten muss damit die Funktion differenzierbar ist?
  -   jordan, kommentiert vor 3 Monate

Damit der Differentialquotient gegen 0 von links und rechts übereinstimmt. 🤔   -   anonym, kommentiert vor 3 Monate

Ja genau, damit hast du schon deine Lösung. @einmalmathe hat dir ja schon den ganzen Rechenweg gezeigt :)
  -   jordan, kommentiert vor 3 Monate
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1 Antwort
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Hallo!

 

Ja, Du liegst richtig, hier nochmal der formale Rechenweg:

 

\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-0}{x-0} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{bx}{x} = \frac{ax}{x} \quad\Longleftrightarrow\quad a = b \) (wichtig ist hierbei, dass \(\displaystyle x\) lediglich unendlich nahe gegen \(\displaystyle 0\) läuft, aber nie verschwindet, daher muss man hier nicht \(\displaystyle x\neq 0\) schreiben).

 

Anschaulich hätte man für \(\displaystyle a\neq b\) einen Knick im Punkt \(\displaystyle (0,0)\) – klassisches Beispiel hierfür wäre die Betragfunktion mit \(\displaystyle b = 1\) und \(\displaystyle a = -1\).

 

Hier definiere ich nochmal \(\displaystyle f\):

 

\(\displaystyle f(x) := \begin{cases}bx, & x > 0 \\ ax, & \mathrm{sonst}\end{cases}\).

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 
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