Konvergenzordnung bestimmen


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Guten Tag, 

Ich habe folgendes Problem, 

ich habe eine Funktion \(f : \mathbb{R}^2 \to  \mathbb{R}^2\) mit \(f(x) = x_{1}^{2} + \frac{1}{4} \cdot x_{2}^{4}\)

und soll jetzt für das ungedämpfte Newton-Verfahren, ( bedeutet Schrittweite ist 1)  für einen beliegigen Startwert \(x^{0} \in \mathbb{R}^2\) Konvergenz gegen den Minimierer \((x_{1}^{*},x_{2}^{*})^T =  (0,0)^T\) zeigen. Das habe ich auch geschafft, indem ich mir jeweils eine Folge für \( x_{1}\) und \(x_{2}\) konstruiert habe und gezeigt habe, dass die jeweils gegen \(0\) konvergieren. 
Die beiden Folgen sind folgendermaßen konstruiert, sodass \((x_{1}^{k+1},x_{2}^{k+1})^{T} = (x_{1}^{k},x_{2}^{k})^{T} - p^{k}\), wobei \(p^{k}\) die Lösung des Gleichungssystems \( \nabla^{2}f(x^{k}) \cdot p^{k} = \nabla f(x^{k}) \) ist. Damit ergeben sich die Folgen \(x_{1}^{k+1} = x_{1}^{k} - x_{1}^{k}\), welche offensichtlich schon nach der ersten Iteration Null wird und sich danach nicht mehr ändert und die zweite Folge \(x_{2}^{k+1} = x_{2}^{k} - \frac{1}{3} \cdot x_{2}^{k}  = (\frac{2}{3})^{k} \cdot x_{2}^{0}\) welche auch offensichtlich für beliebigen Startwert gegen \(0\) konvergiert.

Jetzt muss ich aber auch noch die Konvergenzordnung (Konvergenzgeschwindigkeit) der Iterierten im k-ten Schritt bestimmen und da komme ich nicht wirklich weiter. Wenn da jemand einen Ansatz hätte wäre ich dankbar. 

 

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
c
chrispy,
Punkte: 96
 
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1 Antwort
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Hallo,

auch hier kann ich leider nicht aus Erfahrung sprechen, aber eine Folge \( s_k \) konvergiert gegen \( s \) mit der Ordnung \( p \), wenn es ein \( C > 0 \) existiert, mit

\(  \frac{\vert s_{k+1} - s \vert} {\vert s_k - s \vert^p} \leq C \)

Nun konvergiert die Folge aber auch für jede kleinere Ordnung. Ich denke da zur Ordnung 1 der Quotient der Abstände zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder zum Grenzwert berechnet wird, ist das Supremum dieser Quotienten die Konvergenzgeschwindigkeit \( c \).  

\( \limsup_{k \to \infty} \frac{\vert s_{k+1} - s \vert} {\vert s_k - s \vert} = c \)  

Auf Wikipedia findet sich eine Liste von verschiedenen Konvergenz, die zu dem Gedanken passen würden. Ich würde den Ausdruck mal durch die Iterationsformel vom Newton-Verfahren und dem Grenzwert ersetzen und berechnen. 

Ich bin mir jetzt nur nicht ganz sicher, da wir uns ja im mehrdimensionalen Fall befinden und wir deshalb eine Vektornorm anstatt des Betrages nehmen müssten. Aber da würde ich es einfach mal mit der Standardvektornorm probieren. 

Ich hoffe ich konnte helfen.

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Jo perfekt, danke jetzt habe ichs   -   chrispy, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Das freut mich zu hören :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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