Homomorphismus


0

hi!

Könnte mir bitte jmd. den Homomorphiesatz und den Homomorphiesatz für Vektorräume erklären? Ich finde ihn nämlich sehr schwer verständlich.

 

 

gefragt vor 2 Monate
m
malro10,
Student, Punkte: 118
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

Hallo,

ich versuche es dir mal anhand des Vektorraums zu erklären die restlichen Gedanken sind analog übertragbar.

Die Idee ist es aus einem Homomorphismus einen Isomorphismus zu machen, also eine eindeutig umkehrbaren (bijektiven) Homomorphismus. 

Wenn wir nun unseren Wertebereich unseres Homomorphismuses auf unsere Bildmenge einschränken, haben wir automatisch einen Epimorphismus (surjektiv).

Nun müssen wir noch unseren Definitionsbereich einschränken. Da unser Homomorphismus noch nicht injektiv sein muss, gibt es möglicherweise \( v_1 , v_2 \) mit \( v_1 \neq v_2 \) und \( f(v_1) = f(v_2) \). Da wir einen Homomorphismus haben, gilt

\( 0 = f(v_1) - f(v_2) = f(v_1 - v_2) \)

Genau solche Elemente sollen auch noch rausfliegen. Durch Nebenklassen kann man Äquivalenzklassen erstellen und das ist die Idee hinter den Faktorräumen \( ( V /{ker(f)} )\).

Zusammengefasst ist es möglich zu dem Homomorphismus \( \varphi : V \to W \) einen Isomorphismus \( \tilde{\varphi} :  {V}/ {ker(f)} \to im(\varphi) \) zu finden

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden