Unimathe/ Potenzreihenentwicklung/ Cauchy


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Hallo zusammen,

kann mir jemand weiterhelfen? Bei der Aufgabe b) komm ich gerade nicht weiter.

Dass die Geometrische Reihe auf 1/ (1 - x) rausläuft weiß ich und dass das Cauchy Produkt bei absolut konvergenten Reihen angewendet werden darf.

 

Vielen Dank!

 

gefragt vor 3 Monate
v
anonym,
Student, Punkte: 20
 
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2 Antworten
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Hallo,

was genau ist die Frage? Wie man die Cauchy-Produktformel anwendet?

Es gilt \( \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} b_k \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \)

mit \( c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b_{n-k} \).

Nun setzen wir \( a_k = \frac 1 {2^{k+1}} x^k \) und \( b_k = x^k \Rightarrow b_{n-k} = x^{n-k} = \frac {x^n} {x^k} \) und erhalten

\( c_n = \sum_{k=0}^n \left( \frac 1 {2^{k+1}} x^k \cdot \frac {x^n} {x^k} \right)  = \sum_{k=0}^n \left( \frac 1 {2^{k+1}} {x^n} \right) \)

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate
christian strack, verified
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Vielen Dank. 

Das hilft schon mal! Kannst du mir vielleicht noch erklären wie genau die Summe mithilfe der Geometrischen Reihe umgeschrieben wird.?

Das 1/2 rausziehen hab ich verstanden. Das umschreiben leider nicht.

 

Vielen lieben Dank!

geantwortet vor 3 Monate
v
anonym,
Student, Punkte: 20
 

Als Tipp, es gilt \(\sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \forall q \in \mathbb{R} \) mit \( q \neq 1\)   -   chrispy, kommentiert vor 3 Monate

Wie dann aber aus dem \( 1- \frac{1}{2^{n+1}}\) ein \(1-\frac{1}{2^{n-1}}\) wird ist mir aber ein Rätsel, entweder ich stehe komplett auf dem Schlauch, oder es ist ein Tippfehler   -   chrispy, kommentiert vor 3 Monate

Dankeschön!
Ja ich glaube das letzte Minus ist wirklich ein Tippfehler.
Dann ist die Aufgabe gelöst! Vielen Dank nochmal
  -   anonym, kommentiert vor 3 Monate
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