Bitte dringend um Hilfe! (Flächenberechnung)


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Moin allesamt, wie ihr sieht kommt ich mit einer Frage nicht zu recht, obwohl dies mega leicht aussieht! Bislang habe ich ganz normal Flächenberechnet, doch wenn mal der Quadrat im Kreis ist oder komische Linien in einer Figur versehen sind, krieg ich ein sofortigen Mental Breakdown. Das Problem ist, ich weiß nicht wie ich ZUERST vorangehe. Bitte um eine konstruktive vorgehensweise mit Lösung bezüglich zu den Aufgaben bzw. abgebildeten Bild. Tausend Dank im Voraus ❤️

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
k
kawa,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Quadrat im Kreis:

Der Mittelpunkt des Quadrats ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Kreises. Die Seitenlänge(n) des Quadrats betragen allesamt 3 LE. Außerdem berührt das Quadrat an seinen vier Eckpunkten den Kreis. Mithilfe des Satzes vom Pythagoras lässt sich nun die Länge des Mittelpunktes bis zu einem dieser Eckpunkte berechnen.

\(\mathrm{L_E}=\sqrt{2\cdot 1.5^2} = \sqrt{4.5}\)

Diese Länge ist überraschenderweise auch der Radius des Kreises. Jetzt sollte die Berechnung leicht fallen.


Dreieck:

Es handelt sich hierbei um ein gleichschenkliges Dreieck. Das "obere" Dreieck wurde in zwei rechtwinklige Dreiecke zerteilt, jeweils mit den Kathetenlängen \(\mathrm{K_1} = 2,\: \mathrm{K_2} = 1\). Mithilfe des SdP ergibt sich für die jeweiligen Hypotenusen die Länge \(\mathrm{H} = \sqrt{5}\).

*edit* Die Seitenlänge wurde schon gegeben, mein Fehler.

Somit hat man die obere linke bzw. rechte Seite des Dreiecks (\(\sqrt{5}\)), sowie die unteren (sind identisch).

Also haben die Schenkel die Längen \(2\cdot \sqrt{5}\).

Die Höhe bzw. die die Länge der Basis könnte man mithilfe des Strahlensatzes herleiten. Da die Höhe des "oberen" Dreiecks \(h_1=2\mathrm{LE}\) entspricht, wird die Höhe \(h_2\) des "unteren" Dreiecks auch 2 LE sein. Somit hat das Dreieck eine Höhe von \(h_c=4\mathrm{LE}\), genauso wie seine Basis \(c\). 

Mit diesen Informationen lässt sich nun leicht der Flächeninhalt mit der passenden Formel berechnen. 

 

Lösungen:
A Kreis = 4.5*PI
A Dreieck = 8

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Sehr gut!

Bei dem Kreis wäre ich davon ausgegangen, dass eine der Diagonalen des Quadrats dasselbe in zwei gleichseitige rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Diese Diagonale ist gleichzeitig die Hypotenuse beider Dreiecke (von denen ich nur eines betrachte) und der Durchmesser des Kreises.

Da die Länge der Katheten dieses Dreiecks bekannt ist, nämlich 3 LE, kann über den Satz des Pytagoras die Länge der Hypotenuse berechnet werden. Diese Hypotenuse ist gleichzeitig der Durchmesser des Kreises. Die Hälfte des Durchmessers ist der Radius des Kreises. Die Fläche eines Kreises ist \(A=\pi\cdot r^2\).

Für \(r^2\) komme ich übrigens auf exakt 4,5 FE. Genau das hast Du ja auch angegeben.

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Vielen Dank für die Hilfe sowohl die Mühe. Da ich kaum Erfahrung im Zusammenhang mit gleichschenklige Dreiecke habe, wollte ich noch wissen: ist “hc” generäll gleich der basis “c”?   -   kawa, kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen

Nein. Du könntest das Dreieck beliebig in die Höhe ziehen.
Es gilt \(h_c=\sqrt{a^2-(0.5c)^2}\). Setzt man nun \(h_c=c\), so erhält man \(h_c=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}\). Hier gilt nun \(a=2\sqrt{5}\), weshalb man \(h_c=\dfrac{2\cdot 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 4\) erhält.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 2 Wochen
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