Quadrat im Halbkreis? (Kann mir bitte jemand den Tag retten?


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Moin, ich stehe vor einer Aufgabe die ich bislang noch nicht veratand habe. Ich weiss weder wie die Aufgabe gelöste werden soll noch was berücksichtigt werden soll. Nach erfolglosen recherchen wollte ich es hier mal versuchen. Wichtig: ich weiß das es Extremwertaufgaben sind aber irgendwie finde ich keine vorgehensweise oder Formeln!! Bitte um Hilfe! möglichst auch Formeln etc. Vielen Dank.. ❤️

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
k
kawa,
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musst du die Aufgabe als Extremwertaufgabe lösen? Funktioniert mit Sinus und Cosinus doch genauso   -   1+2=3, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Soweit ich weiß, erkennt man für gewöhnlich Extremwertaufgaben an den Signalwörtern "maximal" und "minimal" bzw deren Abwandlungen. Beispiel: "Berechne, wann der Flächeninhalt maximal / am größten ist."
Diese Aufgabe wäre also eine Extremwertaufgabe, wenn der Winkel nicht vorgegeben wäre und du rausfinden müsstest, bei welchem Winkel der Flächeninhalt maximal ist.
  -   epsilon, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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4 Antworten
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Was ist daran denn eine Extremwertaufgabe? 


Alternatives Vorgehen über die Methode "Quadrat in Kreis", diesen Flächeninhalt dann halbieren. 

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Hallo!


 


Den Flächeninhalt bestimmst Du allgemein über:


 


\(\displaystyle  2\cdot\left(\cos(\alpha)\cdot r\right)\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot r\right)\), also in Deinem Fall \(\displaystyle  \left(\alpha = \frac{\pi}{4} = 45^\circ\right)\)


 


\(\displaystyle  2\cdot \frac{1}{2}\cdot 18 = 18\).


 


Anmerkung:


 


\(\displaystyle F(\alpha) := 2\cdot\left(\cos(\alpha)\cdot r\right)\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot r\right) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\sin(2\alpha)\cdot r^2  \). [Es gilt: \(\displaystyle  r > 0\).]


 


\(\displaystyle  F'(\alpha) \overset{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha = (2k+1)\frac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}\). Für \(\displaystyle  0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2}\) folgt daher, dass das Extremum bei \(\displaystyle  \alpha = \frac{\pi}{4}\), also \(\displaystyle  k = 0\), erreicht wird.


 


Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1440
 

Tausend Dank für die formulierung. Ich weiß nun einiges mehr, aber eine Frage hätte ich an dich noch. Ich weiß das ich den Grad vorerst berechnen soll, aber wieso mit 2 multiplizieren? Weil es ein Rechteck ist? Angenommen es wär ein Quadrat, müsste ich auch mit 2 multiplizieren?   -   kawa, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Meine Antwort bezieht sich nur auf den ersten Quadraten, wenn Du Dir Deine Abbildung anschaust. Weil es ein Rechteck ist, in dem zwei von solchen Quadraten vorkommen, ist glaube ich die Antwort auf Deine Frage trivial. Den Rest solltest Du nun ebenfalls beantworten können. Falls Du mit der Antwort zufrieden bist, könntest Du sie akzeptieren, um den Thread zu schließen.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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Hallo KawaSindi,


meiner Ansicht nach lässt sich die Aufgabe ganz einfach über den Satz des Pytagoras lösen. Nämlich so:



Verstanden?

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1200
 
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Hallo alle zusammen,

jetzt nicht mehr für KawaSindi, aber für alle anderen, die das lesen, doch noch einmal etwas ausführlicher.

Bekannt ist:



  • a) \(r=\sqrt{18}\)

  • b) \(r=c\)

  • c) \(a=b\)

  • d) Höhe des Rechtecks = \(a\) = \(b\)

  • e) Länge des Rechtecks = \(2\cdot a\) = \(2\cdot b\)


Daraus folgt



  • f) Aus a) und b) folgt: \(c^{2}=r^{2}=\left(\sqrt{18}\right)^{2}=18\)

  • g) Aus f) und dem Satz des Pytagoras folgt: \(a^{2}+b^{2}=c^{2}=18\)

  • h) Aus c) und dem Satz des Pytagoras folgt: \(a^{2}=b^{2}=\frac{c^{2}}{2}=\frac{18}{2}=9\)

  • i) Aus \(\sqrt{a^{2}}=|a|\) folgt \(\sqrt{9}=|3|\)

  • j) Strecken können keine negativen Längen haben. Deshalb ist \(a=3\).

  • k) Aus c) und j) folgt: \(b=3\)

  • l) Aus j), k) und d) folgt:  Höhe des Rechtecks = 3

  • m) Aus j), k) und e) folgt: Länge des Rechtecks = \(2\cdot 3\) = 6

  • n) Aus \(\textrm{Fläche des Rechtecks} = \textrm{Höhe} \cdot \textrm{Länge}\), l) und m) folgt: \(A = 3\cdot 6 = 18\)


 


Ein anderer Ansatz:

Das folgende ist etas crazy und nicht ganz ernst gemeint (aber auf jeden Fall richtig):

Dass \(a=b=3\) ist lässt sich unter Bezug auf c) und h) auch etwas anders herausfinden, nämlich indem gedanklich hiermit gearbeitet wird:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9349/die-py-werte-ein-nicht-ganz-ernst-gemeinter-vorschlag/

Danach sind \(a_{\textrm{py}}^{2}\) und \(b_{\textrm{py}}^{2}\) im vorliegenden Fall beide gleich 0,5. Daher gilt nach der Formel \(a=\sqrt{a_{\textrm{py}}^{2}}\cdot c\) folgende Gleichung:

$$a=\sqrt{0,5}\cdot \sqrt{18}=3$$

Nach c) gilt auch \(b=3\).


Viele Grüße
jake2042


 

geantwortet vor 3 Monate
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1200
 
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