Linearkombination Verständnisfrage


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Hallo,

meine Frage ist: 

"Was sind Linearkombinationen und bei welchen Anwendungsprobleme werden diese verwendet?"

 

 

Hättet ihr noch weitere Tipps wie man sich am besten auf eine mündliche Matheprüfung vorbereitet und was man unter Verständnisfragen genau versteht, sind da Definitionen und Beschreibungen gemeint oder auch Rechnungen?

 

Vielen Dank.

 

gefragt vor 2 Monate, 4 Wochen
j
jan9,
Student, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich hoffe die Antwort kommt nicht zu spät ich war "leider" im Urlaub.

Linearkombinationen tretten bei Vektoren auf. Und zwar kann man einen Vektor durch Linearkombinationen anderer Vektoren und Skalare darstellen mit Hilfe der Vektoraddition und Multiplikation.

Zum Beispiel können wir jeden Vektor durch die Linearkombination von Basisvektoren darstellen. Nehmen wir die Standardbasis, dann ist beispielsweise 

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \vec{e_1} + 2 \cdot \vec{e_1} + 3 \cdot \vec{e_1} \)

eine Linearkombination.

Man kann auch den ggT(a,b) zweier Zahlen a und b durch Linearkombination von a und b multipliziert mit zwei ganzen zahlen m und n darstellen

\( ggT(a,b) = m \cdot a + n \cdot b \)

Hierfür verwendet man den erweiterten euklidischen Algorithmus. 

Mündliche Prüfungen sind wesentlich mehr vom Ermessen des Prüfers abhängig.
Meiner Erfahrung nach geht es in mündlichen Prüfungen mehr darum zu wissen wie der Ablauf bestimmter Rechnung erfolgt ("Kochrezepte" zum lösen bestimmer Aufgaben). 
Definitionen sollten auch sitzen. 
Aber am aller wichtigsten ist das Verständnis. Die Idee hinter den Kochrezepten, die Interpretation bestimmter Definitionen und vor allem Anwendungsbeispiele 
Falls Beweise auch für euch wichtig sind, würde ich auch wenigstens die Struktur der wichtigsten Beweise lernen. 

Aber das ist alles immer sehr schwer zu pauschalisieren, da das davon abhängig ist was du studierst. 

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hallo,
studiere Wirtschaftsinformatik und habe als Gebiete Elementare Grundlagen, Matrizen, Vektoren, Lineare Gleichungssysteme und Finanzmathematik. Uns wurde nur gesagt, dass Verständnisfragen und eventuelle Berechnungen auf Papier dran kommen und das in 20min. Vielen Dank schon mal für deine Antwort.

Gruß Jan
  -   jan9, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Ich denke das wichtigste Anwendungsbeispiel der Linearkombination ist dann das aufteilen von Vektoren/Matrizen in Vielfache der Basiselemente.
Einen Vektor habe ich ja bereits zerlegt, natürlich geht das auch mit einer anderen Basis

\( \mathcal{A} = \left\{ \vec{a}_1 , \vec{a}_2 , \vec{a}_3 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \\ \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2 + 2 \vec{a}_3 \)

Das selbe können wir auch bei Matrizen anwenden.

\( \mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \\ \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Die Linearkombination ist im Großen und Ganzen eine Schlussfolgerung daraus, das wir alle Elemente durch ihre Basisvektoren darstellen können und durch die Linearkombination, lassen sich sofort die Anteile der Basisvektoren ablesen.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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