Bei Standardisierung: sigma durch Wurzel n und ohne teilen


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Hallo liebe Community,

ich hab eiene Frage zur Standardisierung im Zusammenhang mit dem Zentralen Grenzwertsatz. Ich ahbe Aufgaben zur Binomialverteilung (mit Zurücklegen) und teils auch in Kombination mit Anteilwerten. Manchmal muss ich hier beim Standardisieren/transformieren

"(x - My) / Sigma" und manchmal

"(x - My) / (Sigma / Wurzel n" rechnen.

Wovon hängt es ab, dass ich durch das "Wurzel n" teilen muss oder nicht?

Danke schon mal im Voraus!

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
l
lilo,
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4 Antworten
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\(\sigma_{\overline{x}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) berechnet den Standardfehler (Standardabweichung) des arit. Mittels / Mittelwerts der Schätzfunktion \(\overline{x}\).

Wenn man bspw. mehrere Stichproben vorliegen hat, so unterscheiden sich ihre Mittelwerte von dem MW der Grundgesamtheit. Der Standardfehler gibt nun an, inwieweit die einzelnen Strichprobenmittelwerte von dem der Grundgesamtheit abweichen.

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Hallo lilo,

mit

$$z_{x_{i}}=\frac{x_{i}-\mu}{\sigma}\tag{1}$$

werden sogenannte z-Werte berechnet. Mittels dieser z-Werte wird eine Verteilung so transformiert, dass der Mittelwert (arithmetisches Mittel) gleich 0 und die Standardabweichung gleich 1 ist. In einer Stichprobe werden statt der Grundgesamtheitsparameter \(\mu\) und \(\sigma\) die entsprechenden Maßzahlen \(\bar{x}\) und \(s\) genommen.

Die z-Werte brauchst Du zum Beispiel, wenn Du ermitteln willst, wieviel Prozent einer bestimmten Normalverteilung zwischen zwei Werten liegt. Du musst dann die entsprechenden Werte in z-Werte umrechnen und dann in einer Tabelle nachschauen.

Der Ausdruck 

$$\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \tag{2}$$

ist, wie maccheroni_konstante ja schon gesagt hat, der Standardfehler. Der Standardfehler gibt darüber Auskunft, in welchem Bereich der Stichprobenmittelwert um den Grundgesamtheitsmittelwert streuen kann. Um \(\sigma\) aus den Daten der Stichprobe möglichst genau schätzen zu können, wird nicht die Stichprobenstandardabweichung genommen, sondern der folgende korrigierte Wert:

$$\hat{\sigma_{x}}=\sqrt{\frac{\sum\limits _{i=1} ^{n}(x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}} \tag{3}$$

Was jetzt der Standardfehler im Nenner eines Bruchs soll, in dessen Zähler \(x-\mu\) steht, erschließt sich mir nicht, jedenfalls nicht auf den ersten Blick.

Hat das geholfen?

Viele Grüße

jake2042

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
jake2042, verified
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..Und wann verwende ich dann das eine und wann das andere? Ich weiß, dass deine Antwort die mathematisch richtige ist, aber gibt es auch ein Indiz in welchen Fällen ich das eine und in welchen Fällen das andere benutze? woran ich fest machen kann? wie z.B. wenn ich für "ohne Zurücklegen" die Hypergeometrische Verteilung benutze und bei "mit zurücklegen" die Binomialverteilung?

Konkret handelt es sich um die folgenden zwei Aufgaben:

1. mit Teilen durch Wurzel n

 

 

 

2. ohne Teilen durch Wurzel n

 

 

 

 

 

 

DAAAAAAAnke!

 

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
l
lilo,
Student, Punkte: 15
 
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Lieber jake2042,

deine Erläuterungen haben sehr geholfen! ich durch deine Ausführungen habe ich mein "Thema" verstanden. Ich wollte eine erklärung haben, wann ich den zentralen Grenzwertsatz mit sigma durch Wurzel n teile. Aber das ist die grunsätzliche Anwendung der Formel für den Grenzwertsatz wenn ich eine Summe von x, also x1,x2,..,xn transfomriere. Wenn ich hingegen nur ein bestimmtes x transformiere, ist das teilen durch wurzel n nicht mehr notwendig. Dafür musste ich aber erst einmal den Gesamtzusammenhang verstehen, den du und maccheroni_constante mir sehr schön erläutert habt. Vielen Dank hierfür! 

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
l
lilo,
Student, Punkte: 15
 
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