Der kleine Gauß - Ohne Worte


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https://www.youtube.com/watch?v=Nsg7jgWFb1I

1. Einführung

Beweise in der Mathematik müssen nicht immer kompliziert sein - im Gegenteil. Viele Beweise können anschaulich und ohne komplizierte Formeln jedem zugänglich gemacht werden. Überzeuge dich selbst bei diesem geometrischen Beweis des kleinen Gauß (Gauß'sche Summenformel) ohne vollständige Induktion! 

2. Der Beweis

Der kleine Gauß beschreibt den folgenden Zusammenhang: $$1+2+3+...+n=0.5\cdot n\cdot (n+1)$$ Dabei ist \(n\in\mathbb{N}\) eine natürliche Zahl. Mit Hilfe des Summenzeichens kann diese Formel wie folgt verkürzt notiert werden:$$\sum\limits_{k=1}^{n}{k}=0.5\cdot n\cdot (n+1)$$ Für eine geometrische Interpretation betrachtest du zunächst einen quadratischen Block mit der Seitenlänge \(1\):

Halbierst du diesen quadratischen Block entlang einer Flächendiagonalen, so erhältst du ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(0.5\).

Der Zusammenhang wird nun vereinfacht dargestellt (d. h. es wird auf Punkte zur Andeutung von allen Summanden zwischen \(3\) und \(n\) verzichtet). Man kann die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen (unter Berücksichtigung der zuvor erwähnten Vereinfachung) geometrisch wie folgt auffassen:

Gesucht ist nun der blau markierte Flächeninhalt:

Diesen kannst du errechnen, indem du zuerst das Quadrat mit dem Flächeninhalt \(n\) betrachtest:

Die blau markierte Fläche hat also einen Flächeninhalt von $$n\cdot n$$ Halbierst du diesen, erhältst du den Flächeninhalt der markierten Dreiecksfläche:

Diese besitzt den Flächeninhalt $$0.5\cdot n\cdot n$$ Das reicht aber offensichtlich noch nicht, denn es soll der Flächeninhalt der gesamten Figur (= Wert der Summanden von \(1\) bis \(n\)) ermittelt werden. Es fehlen noch die insgesamt \(n\) grün markierten Dreiecksflächen, die jeweils einen Flächeninhalt von \(0.5\) besitzen:

Wenn du diese \(n\) Flächen mit dem Flächeninhalt \(0.5\) auf die Dreiecksfläche mit dem Flächeninhalt \(0.5\cdot n\cdot n\) addierst, erhältst du: $$0.5\cdot n\cdot n+0.5\cdot n$$ Klammere den Faktor \(0.5\cdot n\) aus und du erhältst das Ergebnis: $$0.5\cdot n\cdot (n+1)$$ \(\square\)

 

 

Community Artikel, geschrieben vor 1 Monat
andré dalwigk, verified
Student, Punkte: 3726
 

Hi André,
toller Artikel. In Kürze alles Wesentliche zusammengefasst. Da wird einem weder langweilig noch kommt man zu kurz.

Drei Anmerkungen hätte ich noch.
1. Du bist nicht konsistent mit der Dezimaltrennung. Entweder 0,5 oder 0.5 (Bilder gerne ausgenommen). Du hast in deinem Text beides.

2. "Der Zusammenhang wird nun vereinfacht dargestellt (d. h. es wird auf Punkte zur Andeutung von allen Summanden zwischen 3 und n verzichtet)."
Das musste ich mehrmals lesen, bis ich gecheckt habe, was du meinst. Ich würde die Klammer einfach weglassen, dann verwirrt das nicht?!

3. Das Bild 3 finde ich schwer zu verstehen, da keine weitere Informationen da sind, was/wie du das zusammenstückelst - ich konnte das nicht mit einem Blick erfassen.
a) farblich arbeiten (rechts unten ist grün, dann die zwei anliegenden blau etc)
b) Diagonalen einzeichnen mit 1, 2, 3, n
c) An der Seite beschriften
Ich glaube am besten fände ich a) + c)

Nur als Idee :)
  -   orthando, verified kommentiert vor 1 Monat


Eine Frage: Können auch andere User Artikel erstellen und Ihr schaltet sie dann einfach frei, falls sie gut genug sind? So würden mehr Artikel im kürzeren Zeitraum zusammenkommen.
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 1 Monat
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1 Antwort
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Die Summenformel kann, ohne viel zu zeichnen, auch einfach so hergeleitet werden:

https://1drv.ms/b/s!AhSmXwQDkCvagfduUlVvKFj6PiDhlw?e=XiawQU

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 1 Monat
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 805
 

Hallo Jake,

ich habe leider kein OneDrive.
Es gibt viele Herleitungen der Gaußschen Summenformel. Die im Artikel vorgestellte Variante ist nur eine von vielen.

Beste Grüße
André
  -   andré dalwigk, verified kommentiert vor 4 Wochen, 1 Tag

Du brauchst selbst kein OneDrive zu haben. Das müsste auch so gehen. Der Link führt zu einer Webseite von OneDrive, auf der Dir die PDF-Datei direkt angezeigt wird. Du kannst sie direkt im Browser lesen oder herunterladen und in Deinem PDF-Reader öffnen. Das geht Online, ohne dass Du dazu irgendeine bestimmte Software installiert haben musst. Es ist auch völlig egal, welches Betriebssystem Du verwendest oder ob Du vor einem PC, einem Ultrabook, eienm Tablet oder einem Smartphone sitzt.

An sich ist das, was ich da geschrieben habe, aber ganz einfach. Stell Dir vor, Du schreibst die natürlichen Zahlen von 1 bis n in eine Zeile. Dann schreibst Du dieselben natürlichn Zahlen in die Zeile darunter, aber in umgekehrter Reienfolge, also n unter 1, n–1 unter 2 usw.

Jetzt summierst Du die beiden Zeilen Spaltenweise. Du rechnest Also 1+n, 2+(n-1) ... bis n+1. Die Ergebnisse schreibst Du unter die zweite Zeile. Da hast Du jetzt n mal (n+1) stehen. Das Ganze sieht dann so aus:

\begin{array}{ccccccccc}
1 & + & 2 & + & \cdots & + & n & = & {\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}i}\\
n & + & n-1 & + & \cdots & + & 1 & = & {\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}i}\\
\hline \left(n+1\right) & + & \left(n+1\right) & + & \cdots & + & \left(n+1\right) & = & {\displaystyle 2\sum\limits _{i=1}^{n}i}
\end{array}

Da in den ersten beiden Zeilen jeweils die natürlichen Zahlen von 1 bis n stehen, ist das Produkt n mal (n+1) identisch mit dem Doppelten der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Um auf die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n zu kommen, musst Du also nur noch das Ergebnis aus n mal (n+1) durch zwei teilen. Daraus ergibt sich:

$$\sum\limits _{i=1}^{n}i=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}$$

Ich glaube, dass das die mit Abstand bekannteste Herleitung der Gaußschen Summenformel ist.

Übrigens finde ich den Artikel,den Du geschrieben hast, mit dieser grafischen Herleitung, wirklich gut. Vielen Dank dafür!

Viele Grüße
jake2024
  -   jake2042, verified kommentiert vor 4 Wochen, 1 Tag
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