Stetigkeit


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Hallo Leute,

meine Frage bezieht sich auf den Beweis zu dem folgenden Satz über die Stetigkeit einer Funktion.

Sei \(f \in C^0([a,b],\mathbb{R})\) und es existiert ein \(x_0 \in [a,b]\) mit \(f(x_0)>0\). Dann gilt für \(x\) mit \(| x - x_0 | < \delta \), dass \(f(x)>0\).

Den Beweisansatz, den ich mir überlegt habt sieht wie folgt aus:

Wegen der Stetigkeit existiert zu \(\epsilon = f(x_0) > 0\) ein \(\delta > 0\), so dass für \(x\) mit \( |x - x_0| < \delta \) gilt, dass \(|f(x) - f(x_0)| < \epsilon = f(x_0)\).

Jetzt fühlt es sich so an, als wäre ich schon fast am Ziel aber ich sehe hier einfach nicht wie ich \(f(x) > 0\) folgern soll. 

 

Edit: Meine weiteren Gedanken wären nun:

\(|f(x) - f(x_0)| < f(x_0)\)

\( \Leftrightarrow -f(x_0) < f(x) - f(x_0) < f(x_0) \)

\( \Leftrightarrow 0<f(x)<2f(x_0) \)

Falls das so stimmt, war ich ja eigentlich schon am Ziel, war nur zu doof es zu Ende zu bringen.

Wenn da jemand drüberschauen könnte wäre ich sehr dankbar

 

 

gefragt vor 4 Wochen, 1 Tag
j
jordan,
Student, Punkte: 140
 

Sehr schön! Nur müsste man noch sagen, dass \(\displaystyle \delta \leq \mathrm{diam}\big([a,b]\big) := \frac{\vert a-b\vert}{2}\), also, oder einfach noch dazuschreiben, dass \(\displaystyle x\in [a,b]\) ist. Der Beweis sieht, wie bereits schon erwähnt, richtig und sauber aus.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Wochen, 1 Tag

Dass es sich um ein nicht leeres Intervall handelt, sollte vielleicht auch noch dazu geschrieben werden, denn \(\displaystyle \delta > 0\) (man muss immer alle Details dazuschreiben …).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Wochen, 1 Tag

Super! Vielen Dank! Du hast natürlich recht mit den Details, aber die waren mir klar :)
  -   jordan, kommentiert vor 4 Wochen

Ja dann noch besser! Sehr schöne Beweisführung!   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Wochen
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