Definitionsbereich falsch, obwohl nur mit richtiger Rechenregel umgeformt.


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Hallo! Hatten in der letzten „Höhere Mathematik I.2“ Klausur eine Kurvendiskussion Aufgabe. Es geht um folgende Funktion:

f(x) = \( \sqrt{x*(x-1)*(x+1)} \) 

 

Für diese Funktion soll man unter anderem den Definitionsbereich bestimmen. Nun war mein erster Gedanke, die Wurzel auseinander zu ziehen. Das darf man ja bei einem Produkt unter der Wurzel. Somit würden alle negativen Zahlen rausfallen. Dies ist aber nicht richtig, da der tatsächliche Definitionsbereich von -1 bis 0 und von 1 bis unendlich geht. 

 

Die Frage ist jetzt, warum? Warum ändert sich der Def.- Bereich fälschlicherweise, obwohl ich nur die Wurzel anders hinschreibe?

 

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
s
stradlater,
Student, Punkte: 25
 


Was genau meinst du mit "Somit würden alle negativen Zahlen rausfallen".
  -   jordan, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen


Naja ein Teil des Produktes ist ja dann \( \sqrt{x} \), und hier darf man für x keine negativen Zahlen einsetzen.
  -   stradlater, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Ja, danke, hab die Befehle noch nicht so raus :D   -   stradlater, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Ganz genau, ein Term ist dann \(\sqrt{x}\). Dann fasse diesen mal als einzelne Funktion auf und bestimme davon den Definitionsbereich. PS: Mit LaTeX-Befehlen wie \sqrt() zwischen \( \( \) und \( \) \)kannst du Symbole wie zum Beispiel die Quadratwurzel darstellen.
  -   jordan, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

\sqrt{x}, dann fallen auch die Klammern weg.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Ja, noch besser, danke :)   -   jordan, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

So, angepasst!
  -   stradlater, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Sehr schön
  -   jordan, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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3 Antworten
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Hallo!

 

\(\displaystyle  n(x) := x(x+1)(x-1)\).

 

Wir berechnen:

 

\(\displaystyle  n(x) \overset{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_{1,2,3} = -1,0,1 \).

 

Außerdem gilt, dass \(\displaystyle  n(x) = x^3 + O(x^2)\), also \(\displaystyle  \lim_{x\to\pm\infty} n(x) = \pm\infty\). Aus diesen Bedingungen folgt, dass die Funktion zwangsläufig \(\displaystyle  < 0\) für einen gewissen Bereich sein muss (Zwischenwertsatz).

 

Betrachten wir die Intervalle \(\displaystyle  [-1,0]\), \(\displaystyle [1,\infty) \), so stellen wir fest, dass

 

\(\displaystyle\bullet\quad x\leq 0, \quad (x+1) \geq 0, \quad (x-1) < 0  \) und somit insgesamt positiv ist (analog für das letzte Intervall), jedoch für das Intervall \(\displaystyle  (0,1)\) diese Bedingung nicht gegeben ist.

 

Zur Veranschaulichung kannst Du Dir mal \(\displaystyle  n(x)\) plotten.

 

Gruß.

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Okay, danke! Hat schonmal weitergeholfen. Ich hab mir die Funktion mal angesehen und dadurch hab ich erst gesehen, dass der Def.-Bereich anders sein muss.   -   stradlater, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Wovon muss der Definitionsbereich anders sein?
  -   jordan, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

@jordan: Wen meinst Du?   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen


@einmalmathe Sorry, ich bezog mich auf den Kommentar von @stradlater.
  -   jordan, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

@jordan: Ach so, kein Problem. ;)   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Ich habe tatsächlich noch das Gefühl, denn je nach dem wie ich die Funktion in den Grafikrechner eintippe, kommt ein anderer Graph raus xd   -   stradlater, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Hab mal die zwei Bilder unten reingestellt. Das meinte ich.   -   stradlater, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
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stradlater,
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