Ableitung X hoch 1/x


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Hi, 

ich tu mich leider etwas schwer bei der Berechnung der ersten Ableitung von \(x^{1/x}\).

Ich habe versucht den Term darzustellen als \((e^{x*ln(x)})^{1/x}\), dann die 1/x in die Potenz ziehen, aber dann denke ich mir zu diesem Zeitpunkt, dass man x und 1/x kürzen kann. 

Doch dann stünde in der Gleichungskette \(x^{1/x}\) = \(e^{ln(x)}\) = x
Und das ist ja wohl nicht wahr.

Kann mir hier jemand helfen?

 

Vielen lieben Dank

 

Nachtrag: Ich weiß, dass die Funktion nur auf den positiven Zahlen definiert ist, da z.B. \((-2)^{1/-2}\) = \(1/{\sqrt{-2}}\)

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
H
anonym,
Punkte: 20
 
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2 Antworten
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\(x^{1/x}\) ist nicht das gleiche wie \((e^{x\ln(x)})^{1/x}\)!

\(x^{1/x} = e^{\ln\left(x^{\frac{1}{x}}\right)}\)


Du könntest z.B. mit der Ableitungsregel \(\left [f(x)^{g(x)} \right ]'=f(x)^{g(x)} \cdot \left [\ln(f(x)) \cdot g(x) \right ]'\) rechnen.

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 
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Ohh, was ein doofer Fehler.. 
\(x^{1/x}\) = \(x^{1/x * ln(x)}\) 
Und dann kommt man mit der Kettenrege. auf deine Ableitungsregel.

Und somit auf

f´(x) = \(x^{1/x}\) * \((1/{x^2} - ln(x) * 1/{x^2})\)

        = \(x^{1/x}\) * \(1/{x^2}\) *\((1 - ln(x))\)

 

Oder?

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
H
anonym,
Punkte: 20
 

Genau, die Ableitung stimmt.
Du meinst aber bestimmt \(e^{1/x\cdot /ln (x)}\) und nicht \(x^{1/x\cdot /ln (x)}\).
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Jaa genau, bin ein bisschen durcheinander gekommen.

Vielen Dank!
  -   anonym, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen
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